Probabilités

[Lolipop]

Bonjour,

J’aimerai un peu d’aide pour cet exercice :
Soit X et Y deux var aléatoires à densité indépendantes de même loi uniforme sur [0;1].
Z=X+Y

Comment montrer que P(X<=Y)=P(Y<=X) ? Et comment montrer que 1-Y et Y ont la même loi ?

Merci d’avance

[balf]

Eh bien, en calculant: puisque les densités de $X$ et $Y$ sont égales à 1, on a
$$\begin{array}{l}
\displaystyle P(X\leqslant Y)=\int_0^1\Bigl(\int_0^y 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy.\\[2ex]
\displaystyle P(Y\leqslant X)=\int_0^1\Bigl(\int_y^1 1\,\mathrm dx\Bigr)\mathrm dy.
\end{array} $$ Pour l'autre question, remarquer simplement que
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<1-t).$$
Bernard

[Arthur Accroc]

Pour l'autre question, remarquer simplement que
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<t).$$
Bernard

Tu veux dire
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<\mathbf{1-t})=1-(1-t) = t = P(Y<t)$$

[balf]

Tu veux dire
$$P(1-Y\le t)=P(Y\ge 1-t)=1-P(Y<\mathbf{1-t})=1-(1-t) = t = P(Y<t)$$

Oui, bien sûr. On ne se relit jamais assez ! Merci d'avoir relevé cette coquille, c'est rectifié.

B. A.