othiprof a écrit :j'ai fait $C_2 + C_1 \rightarrow C_1$ et $C_4 + C_3 \rightarrow C_3$)
ouais bof.
Il faut faire une combinaison linéaire de façon à avoir un facteur commun dans une ligne ou une colonne de façon à le sortir, et donc d'avoir des 1, ensuite par différence des 0, pour pouvoir développer et diminuer la taille du déterminant au fur et à mesure, jusqu'à avoir un déterminant 2 x 2.
Donc on remarque si on ajoute toutes les colonnes, ça donne $x$ donc on fait $C_1+C2+C_3+C4 \rightarrow C_1$ par exemple.
Cependant, je repars de ce que tu as fait, mais je ne fais que $C_2 + C_1 \rightarrow C_1$
Ca donne
$det(xI-M)=\begin{vmatrix} x & 1&0&0 \\ x&x&-1 & 1\\0&0&x+1&-1\\0&-1&0&x \end{vmatrix}$
Donc dans la première colonne, tu peux sortir un $x$ : ca donne $x\begin{vmatrix} 1 & 1&0&0 \\ 1&x&-1 & 1\\0&0&x+1&-1\\0&-1&0&x \end{vmatrix}$
Tu as déjà 2 zéros dans la première colonne, donc il serait bien d'en avoir un troisième en seconde ligne en faisant $L_2-L_1\to L_2$
tu obtiens
$x\begin{vmatrix} 1 & 1&0&0 \\0&x-1&-1&1\\0&0&x+1&-1\\0&-1&0&x \end{vmatrix}$
Tu développes par rapport à la première colonne donc il te reste
$x\begin{vmatrix} x-1&-1 & 1\\0&x+1&-1\\-1&0&x \end{vmatrix}$
Faut donc calculer ce déterminant 3 x 3. Là on remarque que si on fait $C_2+C_3\to C_3 $ on a $0$ et $x$ qu'on pourra mettre en facteur
Ca te donne pour ce dét : $\begin{vmatrix} x-1&-1&0\\ 0& x+1&x\\-1&0&x\end{vmatrix}=x \begin{vmatrix} x-1&-1&0\\ 0& x+1&1\\-1&0&1\end{vmatrix}$
Dans la dernière colonne, il y a deux $1$ donc on va mettre un 0 en faisant $L_2-L_3\to L_2$, donc on pourra développer par rapport à la dernière colonne et il ne restera qu'un déterminant 2 x 2 qu'on pourra calculer direct.
Okay ?
Pas d'aide par MP.