Code : Tout sélectionner
\documentclass[10pt,a4paper]{book}
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\usepackage{tikz} %pour construire des cadres et des figures
\usetikzlibrary{shapes,arrows}
%\usepackage{pstricks}
%\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{sectsty} %pour modifier les titres de section
\usepackage[top=2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry} %réglage des marges
\usepackage{fancyhdr} %pour les pieds de page
\usepackage{lastpage} %pour l'affichage du nombre de pages
\usepackage{framed} % barre sur les côtés de démonstration & insertion de code
\usepackage{setspace}
\usepackage{eqnarray} %pour aligner les symbole = quand des équations se supperposent
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tkz-tab} %Pour faire des tableaux de variation
\usepackage{graphicx} %Pour insérer des images
\usepackage{multicol} % pour avoir plusieurs colonnes localement
%\usepackage{minted} % insertion de code python (ajouter l'option -shell-escape au compilateur et installer Pygments sous python)
\usepackage[linesnumbered, french, boxed]{algorithm2e} %pour insérer des algorithmes
\usepackage{enumitem} %pour personnaliser les listes
\setlength{\columnseprule}{0.25pt}
%\setlength{\parskip}{3ex plus 2ex minus 1ex} %définit l'espace entre paragraphe valant 2 ex et y ajouter au maximum de 1 ex ou la diminuer au maximum de 1 ex.
\setlength{\parindent}{0pt} % suppression de l'indentation des paragraphe
%augmente l'interligne
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
% haut et bas de page
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[C]{\leftmark}
\fancyfoot[C]{\thepage / \pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} % ligne de séparation des hauts et pieds de pages
\frenchbsetup{StandardItemLabels} % pour conserver les puces lors des énumérations
% Changement de la couleur des titres de section
\sectionfont{\color{red}{}}
\subsectionfont{\color{blue}{}}
\subsubsectionfont{\color{orange}{}}
% définition des symboles ensemblistes mathématiques ou autres
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Def}[1]{\ensuremath{\mathcal{D}}_{#1}}
\newcommand{\Cb}[1]{\ensuremath{\mathcal{C}}_{#1}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Aire}{\ensuremath{\mathcal{A}}}
\newcommand{\Vol}{\ensuremath{\mathcal{V}}}
\newcommand{\fn}[5]{
\begin{center}
$\begin{array}{ccccc}
#1 & : & #2 & \to & #3 \\
& & #4 & \mapsto & #5 \\
\end{array}$
\end{center}
}
% mise en forme
\newcommand{\Cadre}[3]{
\tikzstyle{mybox}=[draw=#2, fill=#2!5, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=15pt]
\tikzstyle{fancytitle} =[draw=#2, fill=#2!20, very thick, rounded corners, text=black]
\begin{tikzpicture}
\node[mybox](box){
\begin{minipage}{0.95\linewidth}
#3
\end{minipage}
};
\node[fancytitle, right=10pt] at (box.north west) {\textbf{#1}};
\end{tikzpicture}
}
\newcommand{\Definition}[2]{\Cadre{#1}{orange}{#2}}
\newcommand{\Proposition}[2]{\Cadre{#1}{green}{#2}}
\newcommand{\Demonstration}[1]{\textbf{Démonstration}
%\begin{minipage}[t]{1.0\linewidth}
\begin{leftbar}
\par{#1}
\end{leftbar}
%\end{minipage}
}
\newcommand{\Divers}[2]{\textbf{#1}\newline
#2
%\begin{minipage}[t]{1.0\linewidth}
% \par{#2}
%\end{minipage}
}
%commande pour faciliter la saisie
\newcommand{\F}[2]{\dfrac{#1}{#2}} %pour les fraction
\newcommand{\RC}[1]{\sqrt{#1}} %pour les racines carrés
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand*{\Vv}[2]{
\begin{pmatrix}
#1\\
#2
\end{pmatrix}
}
\newcommand*{\determinant}[4]{
\begin{tabular}{|c c|}
#1 & #3 \\
#2 & #4 \\
\end{tabular}
}
\newcommand{\Base}{$(\V{i},\V{j})$ }
\newcommand{\Repere}{$(O;\V{i},\V{j})$ }
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{listings}
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literate=
{²}{{\textsuperscript{2}}}1
{⁴}{{\textsuperscript{4}}}1
{⁶}{{\textsuperscript{6}}}1
{⁸}{{\textsuperscript{8}}}1
{€}{{\euro{}}}1
{é}{{\'e}}1
{è}{{\`{e}}}1
{ê}{{\^{e}}}1
{ë}{{\"{e}}}1
{É}{{\'{E}}}1
{Ê}{{\^{E}}}1
{û}{{\^{u}}}1
{ù}{{\`{u}}}1
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{Á}{{\'{A}}}1
{Â}{{\^{A}}}1
{Ã}{{\~{A}}}1
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{Ç}{{\c{C}}}1
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{í}{{\'{i}}}1
{Í}{{\~{Í}}}1,
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}
\lstset{style=mystyle}
\begin{document}
% Définition des cercle pour les diagramme de Venn
\def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
\def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
\colorlet{circle edge}{blue!50}
\colorlet{circle area}{blue!20}
\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},outline/.style={draw=circle edge, thick}}
\setlength{\parskip}{5mm}
\chapter{Les ensembles de nombres}
\section{Les ensembles}
Un \textbf{ensemble} est une collection d'objets appelés \textbf{éléments}.
On peut définir un ensemble
\begin{itemize}
\item ou bien \textbf{par énumération} ; les éléments sont alors placés entre accolades et séparés par des virgules.\\
Par exemple, $\lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace$ est un ensemble.
\item ou bien \textbf{en compréhension} ; l'ensemble est définis par une propriétés caractérisant les éléments.\\
Par exemple, $\lbrace n ; n \in \N, n \geqslant 6 \rbrace $ est un ensemble.
\end{itemize}
\Divers{Remarque}{On note $\varnothing$ l'ensemble vide ; c'est un ensemble qui ne contient aucun élément.}
\subsection{Inclusion}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\Definition{Définition}{
Un ensemble $A$ est \textbf{inclus} (ou \textbf{contenu)} dans un ensemble $B$ quand tous les éléments de
l'ensemble $A$ appartiennent à l'ensemble $B$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[inner sep=2pt, inner ysep=2pt]
\draw[thick,blue!50] (0,0) circle (2.5 and 1.5);
\draw[thick,blue!50] (-0.5,0) circle (1.5 and 1);
\fill[blue!20] (-0.5,0) circle (1.5 and 1);
\draw (-1.5,0) node[below] {$A$};
\draw (-2.25,0) node[below] {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\Divers{Notation}{On note $A \subset B$}
\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b \rbrace \subset \lbrace a, b, c, d \rbrace$}
\subsection{Intersection}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\Definition{Définition}{
L'\textbf{intersection} des deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\clip \firstcircle;
\fill[filled] \secondcircle;
\end{scope}
\draw[outline] \firstcircle node {$A$};
\draw[outline] \secondcircle node {$B$};
\node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\Divers{Notation}{On note $A \cap B$}
\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \cap \lbrace c, d, e, f \rbrace = \lbrace c, d \rbrace$}
\Definition{Définition}{Deux ensembles sont \textbf{disjoints} si leur intersection est égale à l'ensemble vide.}
\subsection{Réunion}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\Definition{Définition}{
La \textbf{réunion} de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à l'ensemble $A$ ou
à l'ensemble $B$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[filled] \firstcircle node {$A$} \secondcircle node {$B$};
\node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\Divers{Notation}{On note $A \cup B$}
\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \cup \lbrace c, d, e, f \rbrace = \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace$}
\subsection{Complémentaire}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\Definition{Définition}{
Le \textbf{complémentaire} de $A$ dans $B$ est l'ensemble des éléments de $B$ qui n'appartiennent pas à $A$.
}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}
\clip \secondcircle;
\draw[filled, even odd rule] \firstcircle \secondcircle node {$B$};
\end{scope}
\draw[outline] \firstcircle node {$A$} \secondcircle;
\node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$B \setminus A$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\Divers{Notation}{On note $B \setminus A$}
\Divers{Exemple}{$\lbrace a, b, c, d \rbrace \setminus \lbrace a, b \rbrace = \lbrace c, d \rbrace$}
\section{Les entiers naturels}
\Definition{Définition}{Les \textbf{entiers naturels} sont les nombres 0,1, 2, 3,...}
\Divers{Notations}{
\begin{itemize}
\item $\N$ : l'ensemble des entiers naturels
\item $\N^*$ : l'ensemble des entiers naturels non nuls
\end{itemize}
}
\section{Les entiers relatifs}
\subsection{Définition}
\Definition{Définition}{
L'ensemble des \textbf{entiers relatifs} est la réunion de l'ensemble des entiers naturels et de l'ensemble constitué
de leurs opposés.
}
\Divers{Notations}{
\begin{itemize}
\setlength\itemsep{1cm}
\item $\Z$ : l'ensemble des entiers relatifs
\item $\Z^*$ : l'ensemble des entiers relatifs non nul
\item $\Z^+$ : l'ensemble des entiers positifs
\item $\Z^{*+}$ : l'ensemble des entiers strictement positifs
\item $\Z^-$ : l'ensemble des entiers négatifs
\item $\Z^{*-}$ : l'ensemble des entiers strictement négatifs
\end{itemize}
}
\Proposition{Propriété}{Tout entier naturel est un entier relatif autrement dit $\N \subset \Z$}
\subsection{Multiples et diviseurs}
\Definition{Définition}{
Soient $a$ et $b$ deux entiers.
$a$ est un \textbf{multiple} de $b$ ou $b$ est un \textbf{diviseur} de $a$ s'il existe un entier $k$ tel que $a=k \times b$.
}
\Divers{Exemple}{12 est un multiple de 3 et de 4. 3 et 4 sont des diviseurs de 12.}
\Divers{Contre-exemple}{
12 n'est pas un multiple de 5 car $2 \times 5 = 10$ et $3 \times 5 = 15$ et il n'existe pas d'entier k entre 2 et 3 tel que $k \times 5 = 12$.
}
\Proposition{Propriété}{Soit $a$ un entier.
La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.
}
\Demonstration{
Soit $b \in \Z$ et $c \in \Z$ les deux multiples de $a$.
Il existe un entier $k$ tel que $b = k \times a$ et un entier $k'$ tel que $c = k' \times a$.
D'où :
$b + c=k \times a + k' \times a$
$b + c = (k+k') \times a$
$b + c = K \times a$ avec $K = k + k'$ et K entier en tant que somme de deux entiers.
Donc $b+c$ est un multiple de $a$.
}
\subsection{Nombres pairs et nombres impairs}
\Definition{Définition}{
\begin{itemize}
\item Un entier \textbf{pair} est un entier multiple de 2.
\item Un entier est \textbf{impair} s'il n'est pas pair.
\end{itemize}
}
\Divers{Remarques}{
\begin{itemize}
\item Un entier pair s'écrit sous la forme $2k$ où $k$ est un entier.
\item Un entier impair s'écrit sous la forme $2k+1$ où $k$ est un entier.
\end{itemize}
}
\Proposition{Propriété}{Le carré d'un nombre impair est impair.}
\Demonstration{
Rappel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Soit $a$ un nombre impair. Il existe un entier $k$ tel que $a=2k+1$.
On a :
$a^2=(2k+1)^2$
$a^2=(2k)^2+2 \times 2k \times 1 + 1^2$
$a^2=4k^2+4k+1$
$a^2=2(2k^2+2k)+1$
$a^2=2K+1$ avec $K=2k^2+2k$ et $K \in \Z$
donc $a^2$ est un nombre impair.
}
\Divers{Algorithme 1}{
Soit $a$ et $b$ deux entiers tels que $a \leqslant b$. Déterminer le plus grand multiple $m$ de $a$ tel que $m \leqslant b$.
}
\Divers{Principe}{
On va tester tous les multiples de $a$ jusqu'à dépasser $b$. Le plus grand multiple $m$ sera alors l'avant dernier multiple testé.
}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\DontPrintSemicolon
\Entree{$a, b \in \Z$}
\Sortie{$m \in \Z$}
$m \leftarrow a$\;
\Tq{$m \leqslant b$}{$m \leftarrow m+a$}\;
\Retour{$m-a$}\;
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}
def PlusGrandMultiple(a,b):
m = a
while m <= b:
m = m+a
return m-a
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\Divers{Algorithme 2}{Soient $a$ et $b$ deux entiers naturel tels que $a \leqslant b$. Déterminer si $b$ est un multiple de $a$.}
\Divers{Principe}{
On va tester tous les multiples de $a$ jusqu'à dépasser $b$. Si l'avant dernier multiple testé est égal à $b$, alors $b$ est multiple de $a$ sinon il ne l'est pas.
}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\DontPrintSemicolon
\Entree{$a, b \in \Z$}
\Sortie{un booléen obtenu par le test $m-a = b$}
$m \leftarrow a$\;
\Tq{$m \leqslant b$}{
$m \leftarrow m+a$}\;
\Retour{$m-a = b$}\;
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}
def EstMultipleDe(a,b):
m = a
while m <= b:
m = m+a
return m-a == b
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\subsection{Nombres premiers}
\Definition{Définition}{Un nombre \textbf{premier} est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts.}
\Divers{Remarques}{
\begin{itemize}
\item 0 n'est pas un nombre premier car tout entier naturel divise 0 ($0=0 \times n$ où $n \in \N$ est quelconque)
\item 1 n'est pas un nombre premier car il est son seul diviseur.
\end{itemize}
}
\Divers{Algorithme 3}{Soit $n$ un entier naturel. Déterminer si $n$ est un nombre premier.}
\Divers{Principe}{On va compter les diviseurs $d$ de $n$. Pour cela, on va calculer le reste de la division euclidienne de $n$ par $d$. Si ce reste est nul, alors $d$ est un diviseur de $n$ autrement dit le nombre de diviseur de $n$ augmente de $1$. Si le nombre de diviseurs final est égale à $2$ alors $n$ est premier.
}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\DontPrintSemicolon
\Entree{$n \in \N$}
\Sortie{un booléen obtenu par le test $c=2$}
$c \leftarrow 0$\;
\Pour{$i=1$ \KwA $n$}{
$r \leftarrow$ reste de la division entière de $n$ par $i$\;
\Si{$r = 0$}{$c \leftarrow c+1$}}\;
\Retour{$c=2$}\;
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}
def EstPremier(n):
c = 0
for i in range(1,n+1):
r = n % i
if r == 0:
c = c + 1
return c==2
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\Proposition{Propriété}{
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est soit premier, soit le produit de nombres premiers. Dans le second cas, cette décomposition est unique.
}
\Divers{Méthode}{
Pour décomposer un nombre en produit de nombre premier, on divise successivement par les nombres de la liste ordonnée des nombres premiers.
}
\Divers{Exemple}{
\begin{center}
\begin{tabular}{r|l}
17640 & 2\\
8820 & 2\\
4410 & 2\\
2205 & 3\\
735 & 3\\
245 & 5\\
49 & 7\\
7 & 7\\
1 &\\
\end{tabular}
\end{center}
}
d'où la décomposition unique en produit de nombres premiers $17640=2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^2$
\section{Les nombres décimaux}
\Definition{Définition}{
L'ensemble des \textbf{nombres décimaux}, noté $\D$, est l'ensemble des nombres de la forme $\F{a}{10^p}$ avec $a \in \Z$
et $p \in \N$.
}
\Divers{Exemple}{$\F{1}{4}$ est un nombre décimal car $\F{1}{4}=\F{25}{10^{2}}$.}
\Proposition{Propriété}{Tout entier relatif est un nombre décimal autrement dit $\Z \subset \D$.}
\Demonstration{Soit $n \in \Z$. Alors $n=\F{n}{10^{0}}$. Donc $n \in \D$.}
\Proposition{Propriété}{Il existe des nombres qui ne sont pas décimaux.}
\Demonstration{Montrons que $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
On raisonne par l'absurde. Supposons que $\dfrac{1}{3}$ soit un nombre décimal.
Alors il existe $a \in \Z$ et $p \in \N$ tels que $\F{1}{3}=\F{a}{10^p}$ autrement dit tels que $3a=10^{p}$.
Cela entraîne que $10^{p}$ est divisible par 3 ce qui est absurde puisque la somme de ses chiffres est toujours égale à 1.
Donc $\F{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
}
\section{Les nombres rationnels}
\Definition{Définition}{
L'ensemble des \textbf{nombres rationnels}, noté $\Q$, est l'ensemble des nombres de la forme $\dfrac{a}{b}$
avec $a \in \Z$ et $b \in \N^*$.
}
\Divers{Exemple}{$\F{1}{3}$ est un nombre rationnel (qui n'est pas décimal).}
\Proposition{Propriété}{Tout nombre décimal est un nombre rationnel autrement dit $\D \subset \Q$.}
\Demonstration{
Un nombre décimal $a$ s'écrit sous la forme $\F{a}{10^p}$ avec $n \in \Z$ et $p \in \N$. Comme $10^p \in \N^*$, alors $a \in \N$.
}
\Proposition{Propriété}{Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels.}
\Demonstration{Montrons que $\RC{2}$ n'est pas rationnel.
Raisonnons par l'absurde et supposons que $\RC{2}$ est rationnel.
Alors, il existe $p \in \N$ et $q \in \N^*$ premier entre eux tels que $\RC{2}=\F{p}{q}$.
En élevant au carré, on a $2=\F{p^2}{q^2}$ soit $p^2=2q^2$ (1).
Ainsi, $p^2$ est un nombre pair, et par suite $p$ est aussi un nombre pair (en effet, si $p$ était impair, alors $p^2$ serait impair).
Puisque $p$ est pair, il existe $k \in \Z$ tel que $p=2k$.
D'après (1), on en déduit alors que $p^2=(2k)^2=4k^2=2q^2$ soit $q^2=2k^2$.
Ceci entraîne que $q^2$, puis $q$ sont pairs. Ceci contredit le fait que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
Donc $\RC{2}$ n'est pas rationnel.
}
\section{Les nombres réels}
\subsection{Définition}
\Definition{Définition}{
L'ensemble de \textbf{nombres réels}, noté $\R$, est l'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée appelé
droite numérique.
}
\Definition{Définition}{Un \textbf{nombre irrationnel} est un nombre qui n'est pas rationnel.}
\Proposition{Propriété - Encadrement de $x \in \R$ à $10^{-n}$ près}{
Pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ , il existe un nombre décimal $d$ tel que :
\begin{center}
$d \leqslant x < d+10^{-n}$
\end{center}
}
\subsection{Intervalles}
\Definition{Définition}{Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a<b$.
\begin{enumerate}
\item L'intervalle $[a;b]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a \leqslant x \leqslant b$.
\item L'intervalle $[a;b[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a \leqslant x < b$.
\item L'intervalle $]a;b]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a < x \leqslant b$.
\item L'intervalle $]a;b[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $a < x < b$.
\end{enumerate}
}
\Definition{Définition}{
\begin{enumerate}
\item $a$ et $b$ sont appelés les \textbf{bornes} (ou \textbf{extrémités}) de l'intervalle.
\item Un intervalle est \textbf{ouvert à gauche} (respectivement \textbf{à droite}) si la borne de gauche (respectivement de droite) n'appartient pas à l'intervalle.
\item Un intervalle est \textbf{fermé à gauche} (respectivement \textbf{à droite}) si la borne de gauche (respectivement de droite) appartient à l'intervalle.
\item Un intervalle est \textbf{ouvert} (respectivement \textbf{fermé}) s'il est ouvert (respectivement fermé) à droite et à gauche.
\item L'\textbf{amplitude} de l'intervalle $[a;b]$ est le nombre réel $b-a$.
\item Le \textbf{centre} de l'intervalle $[a;b]$ est l'abscisse du milieu des points d'abscisses $a$ et $b$ soit $\dfrac{a+b}{2}$
\end{enumerate}
}
\Definition{Définition}{Soit $a$ un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item L'intervalle $[a;+\infty[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \geqslant a$.
\item L'intervalle $]a;+\infty[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x > a$.
\item L'intervalle $]-\infty;a]$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x \leqslant a$.
\item L'intervalle $]-\infty;a[$ est l'ensemble des nombres réels $x$ tels que $x < a$.
\end{enumerate}
}
\subsection{Valeur absolue d'un réel}
\Definition{Définition}{
La \textbf{distance de deux réels $a$ et $b$}, notée $d(a;b)$, est la distance des points $A$ et $B$ d'abscisses
respectives $a$ et $b$ sur la droite numérique.
}
\Proposition{Propriété}{Soit $a$ et $b$ deux réels.
Alors $d(a,b)=
\begin{cases}
b-a & \text{si } b \geqslant a \\
a-b & \text{si } b \leqslant a
\end{cases}$
}
\Definition{Définition}{
La \textbf{valeur absolue} d'un réel $x$, notée $|x|$, est la distance de ce réel à 0 autrement dit $|x|=d(0;x)$.
}
\Proposition{Propriété}{Soit $x$ un nombre réel.
\begin{enumerate}
\item $|x| \geqslant 0$
\item $\lvert x \rvert=
\begin{cases}
-x & \text{si } x \leqslant 0 \\
x & \text{si } x \geqslant 0
\end{cases}$
\item $|x|=|-x|$
\item $|x|=0$ si et seulement si $x=0$
\end{enumerate}
}
\Proposition{Propriété}{Soit $a$ un nombre réel et $r$ un nombre réel positif.
L'intervalle $[a - r ; a + r ]$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $|x-a| \leqslant r$.
}
\Demonstration{
\begin{eqnarray*}
x \in [a-r ; a+r] &\Leftrightarrow & a - r \leqslant x \leqslant a + r \\
&\Leftrightarrow & -r \leqslant x - a \leqslant +r \\
&\Leftrightarrow & -r \leqslant x - a \leqslant 0 \text{ ou } 0 \leqslant x-a \leqslant +r \\
&\Leftrightarrow & 0 \leqslant a - x \leqslant +r \text{ ou } 0 \leqslant x-a \leqslant +r \\
&\Leftrightarrow & |x-a| \leqslant +r
\end{eqnarray*}
}
\end{document}
Par contre, je trouve qu'utiliser un shell-escape est pénible.
Il y a des packages plus adaptés pour du python que minted, non ? Perso, j'utilise pythonhighlight, python et listings.
[edit] J'ai modifié le code pour éviter le shell-escape.