Variations de fonctions

[jade08]

Bonjour, j'ai deux problèmes sur deux exercices de variation des fonctions. Je précise que j'ai le corrigé mais je ne comprends pas la démarche.

Le premier est sur la factorisation et la dérivation. L'énoncé indique que la fonction est définie pour tout réel x différent de 2 par $f(x)=x^2-3x+3/x-2$. On demande donc de déterminer l'expression de sa dérivée. J'ai remarqué que f était de la forme $f=u/v$ qui donne $f'=(u'v-v'u)/v²$ avec $u=x^2-3x+3$, $u'=2x-3$, $v=x-2$ et $v'=1$. En appliquant la formule j'ai trouvé $f'(x)=(2x-3x-2-x^2-3x+3)/(x-2)^2$ et en réduisant j'ai eu $f'(x)=x^2-10x+9$. Or, le corrigé indique (sans autres explications) qu'il fallait trouver $f'(x)=(x-3)(x-1)/(x-2)^2$ donc je ne vois pas comment faire d'autant plus qu'il ne s'agit pas des mêmes identités remarquables.

Le second problème est sur la partie 3 d'un autre exercice. L'énoncé indique qu'on a une fonction $f$ est défini sur tout $x$ différent de 3 avec $f(x)=(2x-5)/x+3$. On apprend au fur et à mesure de l'exercice que sa dérivé $f'(x)=11/(x+3)^2$, que f est croissante sur $]-\infty;-3] \cup [-3; +\infty[$. Maintenant la question qui me pose un problème est : on suppose que la courbe de f est tracée dans un repère. Existe-t-il un point en lequel la tangente à la courbe de f passe par le point $A(0;2)$ ? Le corrigé dit : on écrit l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en un point d'abscisse $a$. Cette droite devant passer par $A$, on obtient une équation qui se ramène à une équation du premier degré. La valeur de a trouvée est $-3/2$. Voilà, je sais pas comment on arrive à cette conclusion, j'avais pensé utiliser la formule $f(a)+f'(a)(x-a)$ mais je n'ai rien trouvé.

Merci d'avance, vous êtes pas obligés de répondre aux deux questions et toute piste est acceptée :)

[guiguiche]

Bonjour

Sans les parenthèses, tes expressions sont quasi illisibles.
Pour la 1 : Développe et réduis le numérateur de $f'(x)$, ton dénominateur est évidemment correct.
Pour la 2 : Ta tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ et elle passe par le point $A(0;2)$, c'est-à-dire que l'équation est vérifiée lorsque $x$ et $y$ sont remplacés par les coordonnées de $A$.

[jcs]

Bonjour

Il est en principe demandé d'écrire les expressions mathématiques avec $\LaTeX$.

Vous auriez dû mettre des parenthèses le texte donne donc $\dfrac{x^2-3x+3}{x-2}$.

$f'(x)=\dfrac{(2x-3)(x-2)-(x^2-3x+3)}{(x-2)^2}$ En développant on obtient au numérateur $x^2-4x+3$ ce qui donne bien en factorisant $(x-1)(x-3)$.

Une fonction est croissante sur un intervalle et non sur une réunion d'intervalles.

l'équation de la tangente en a à la courbe est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ soit $y=\dfrac{11}{(a+3)^2}\left(x-a\right)+\dfrac{2a-5}{a+3}$.

On développe $y= \dfrac{11}{(a+3)^2}x -\dfrac{11a}{(a+3)^2}+\dfrac{2a-5}{a+3}$.

On réduit au même dénominateur puis on dit que cette droite passe par A ce qui revient à résoudre $\dfrac{-11a}{(a+3)^2}+\dfrac{2a-5}{a+3}=2$.

[jade08]

D'accord je prends note pour l'écriture des fonctions et pour le premier je pense que je m'étais trompée au niveau des signes. En tout cas merci beaucoup !