Unicité d'un sous-groupe

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LennoxConner
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Unicité d'un sous-groupe

Message par LennoxConner »

Bonjour,

je travaille sur l'exercice suivant : il s'agit de montrer que si un groupe est cyclique d'ordre et que est un diviseur strictement positif de alors il n'existe qu'un seul sous-groupe de d'ordre .

J'arrive à montrer l'existence, mais je fais un blocage sur l'unicité.

Soit $G = \langle a \rangle$ un groupe cyclique d'ordre n, d un diviseur de n. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de G d'ordre d.

Soit H un sous-groupe de G d'ordre d. Montrons que $H = \langle a^{\frac{n}{d}} \rangle$.

On note $H = \{a^{k_{1}}\ , ...\ ,a^{k_{d}}\}$
soit $i \in [[1, d ]]$, $k_{i} \in [[ 1, n ]]$ et $a^{k_{i}d} = 1$ donc $n \mid k_{i}d$ ie $ k_{i} $ est un multiple de $\frac{n}{d}$.
Or il n'existe que d multiples de $ \frac{n}{d}$ compris entre 1 et n, d'où $H = \langle a^{\frac{n}{d}} \rangle$.

$\langle a^{\frac{n}{d}} \rangle$ est bien un sous-groupe de G d'ordre d, ce qui conclut.

Reste à prouver l'unicité, je n'y arrive pas.

Je suppose que est un sous-groupe de d'ordre . Et je veux prouver que .
En fait, prouver que suffit puisque ces deux ensembles ont même cardinal.
Je ne sais pas le faire.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci !

balf
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Re: Unicité d'un sous-groupe

Message par balf »

Bonjour,

Vous avez un blocage avec les notations ?

B. A.

BeatrixKiddo
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Re: Unicité d'un sous-groupe

Message par BeatrixKiddo »

Salut! J'ai un peu réécrit l'énoncé, j'espère que l'on parle bien de la même chose.
Dernière modification par MB le dimanche 02 août 2020, 11:34, modifié 1 fois.
Raison : Contenu réintégré dans le message initial.