Majoration d'une fonction du second degré

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau inférieur au baccalauréat.

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azer1957
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Majoration d'une fonction du second degré

Message par azer1957 »

Bonjour, aidez moi à résoudre cet exercice.
Montrer que si $|x|<1$ et $|a|<1$ alors $|ax^2+x-a|<5/4$ (*).
J'ai procédé ainsi.
Si $a=0$ alors (*) est bien vérifiée.
Si $a \ne 0$ alors $|ax^2+x-a|=|a(x^2+1/ax-1)|=|a(x+1/2a)^2-1/4a^2-1|<|(x+1/2a)^2|+|1/4a^2+1|$.

J'ai trouvé des problèmes pour majorer $1/2a$ et $1/4a^2$.

Prière de me donner un coup de pouce pour achever la résolution de l'exercice et merci.
cordialement Med
Dernière modification par MB le lundi 28 septembre 2020, 16:57, modifié 2 fois.
Raison : Remise en forme du message et modification du titre.

guiguiche
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Re: exercice de logique

Message par guiguiche »

Bonjour
Dans le cas où $a\ne0$, regarde où se situe le minimum/maximum de ta fonction du second degré (sans la valeur absolue) par rapport à -1 et 1 ainsi que les variations de la fonction (idée qui me vient sans avoir vraiment recherché). Ça revient à ne pas utiliser l'inégalité triangulaire dans ce que tu as écrit.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.

azer1957
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Re: exercice de logique

Message par azer1957 »

bonjour
merci guiguiche

$$f_a(x)=ax^2+x-a=a(x^2+1/ax-1)=a(x+\frac{1}{2a})^2-\frac{1}{4a}-a$$

si $0<a<1$ donc $C_{f_a}$ parabole de sommet $\Omega(\frac{1}{2a},-\frac{1}{4a}-a)$ et pour tout x de $[-1;1]$

$$f_a(x)< -\frac{1}{4a}-a<\frac{-5}{4}$$

si $-1 <a<0$ sur $[-1;0]$, $f_a$ est croissante et décroissante sur $[0;1]$ donc $f(x)<f(0)=-a$ (la fonction valeur absolue décroissante sur $\R^-$ et croissante sur $\R^+$).

Donc ca pose un problème.

Cordialement Med
Dernière modification par MB le lundi 28 septembre 2020, 16:53, modifié 1 fois.
Raison : Remise en forme du message.

balf
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Re: Majoration d'une fonction du second degré

Message par balf »

Bonsoir,

En utilisant le théorème sur le signe d'un trinôme du second degré, voici comment j'obtiens facilement une majoration sur $]-1,1[$, mais pas tout à fait celle demandée. Voici :

On remarque d'abord que la fonction admet un extremum en $-1/2a$, lequel est un minimum si $a>0$, un maximum dans le cas contraire, et cet extremum vaut $\:-\frac1{4a}-a=-\frac{4a^2+1}{a}$.

Comme $f_a(1)=1,\: f_a(-1)=-1$, on en déduit aussitôt que $-1$ sépare les racines (qui sont nécessairement réelles) si $a>0$, mais pas $1$, et inversement si $a<0$. Notons $\xi$ la plus grande des racines, nécessairement située entre $-1$ et $1$.

Deux cas de figure :
  • Ou bien l'extremum a lieu avant $-1$ ou après $1$, auquel cas la fonction est monotone sur $]-1,1[$, de sorte que $-1<f_a(x)<1$.
  • Ou bien il a lieu entre $-1$ et $1$. Ceci se produit si $\frac 1{2|a|}<1$, c.-à-d. si $|a|>1/2$ La valeur absolue de l'extremum est $\frac 1{4|a|} +|a|<\frac12+1=\frac 32 $, et l'on vérifie aisément que cette majoration est valide sur tout l'intervalle de bornes $\xi$ et la valeur qui sépare les racines ($1$ ou $-1$ selon le signe de $a$).
Bilan: sur le reste de l'intervalle $]1,1[$ on a une majoration par $1$ en raison de la monotonie de $f_a$, on obtient donc au total une majoration par $3/2$, et cette valeur est atteinte.

B. A.

guiguiche
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Re: exercice de logique

Message par guiguiche »

azer1957 a écrit :
lundi 28 septembre 2020, 11:57
$$f_a(x)< -\frac{1}{4a}-a<\frac{-5}{4}$$
La dernière majoration est fausse puisque a est au dénominateur dans le premier terme.
Mon message était certainement un peu obscur mais j'étais sur la même idée que balf.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Un peu d'autopromotion.

azer1957
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Re: Majoration d'une fonction du second degré

Message par azer1957 »

bonsoir
merci balf
mrini