1.a) J'ai trouvé $a=11/12$ et $b=1/12$.1) $M= \begin{pmatrix} 1/4 & 3/4 \\ 1/3 & 2/3 \end{pmatrix}$.
a) Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $M^2= aM+bI_2$.
b) Prouver que pour tout $n$ appartenant à $\N$, il existe $(a_n,b_n)$ appartenant à $\R^2$: $M^2=a_nM+b_nI_2$.
c) Déterminer les relations de récurrences sur les suites $(a_n)$ et $(b_n)$. En déduire les valeurs $a_n$ et $b_n$, puis la matrice $M^n$.
d) Montrer que la suite de matrice $(M^n)$ converge et que sa limite est une matrice stochastique.
2) $K= \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 1/3 & 2/3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $L = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
d) Déterminer les puissances positives ou nulles de $L$.
e) Écrire $K$ comme une combinaison linéaire des matrices $I_3$ et $L$. En déduire les puissances positives ou nulles de $K$.
f) Montrer que la suite $(K^n)$ converge et que sa limite est une matrice stochastique.
1.b) J'ai utilisé la récurrence.
1.c) J'ai trouvé $a_{n+1}=11/12a_n=b_n$ et $b_{n+1}=1/12a_n$.
Merci par avance. J'ai fais de mon mieux, j'ai bcp cherché mais je ne sais pas du tout comment faire pour la suite....