Transformée de Fourier discrète

[Elena-a]

Salut,
je veux démontrer ça, mais j'ai besoin une idée pour démarrer.

Merci de m'avoir répondu.

[MB]

Bonjour, il ne manquerait pas des $\pi$ quelque part ?
Par ailleurs, dans les trois cas à distinguer, le dernier est un cas particulier du premier et la formulation ne semble donc pas correcte.

[guiguiche]

Qui sont les $x_k$ ?

[Elena-a]

Pardon, mais j'ai pas compris ce que vous avez dit.
En fait les fonctions sont $e^{imx}$ et $e^{ilx}$. D'où vient le $\pi$?

[MB]

En l'état le résultat à montrer ne semble pas correct.
Peut-être que $\pi$ intervient dans la définition de $x_k$. D'après votre document, on aurait $x_k=k$ ?

[Elena-a]

Bonjour, oui y avait une erreur sur le document. En fait $x_k=k\pi/n$.
Donc pour $m=l$ ça donne $2n$, mais j'ai pas trouvé le résultat pour $m \ne l$.

[MB]

$$(e^{imx},e^{ilx})_d = \sum_{k=0}^{2n-1} e^{\frac{2ik(m-l)\pi}{n}}=\sum_{k=0}^{2n-1} \left(e^{\frac{2i(m-l)\pi}{n}}\right)^k$$
On a donc la somme des termes d'une suite géométrique de raison $r=e^{\frac{2i(m-l)\pi}{n}}$.
Tu devrais normalement savoir calculer ce genre de somme, en distinguant les cas $r=1$ et $r \ne 1$.

[Elena-a]

C'est bon j'ai compris. Merci énormément.