Variable aléatoire et matrice

[sophie800]

Bonjour, je suis bloqué à la question 4 et 5. Pouvez vous m'aidez svp. Merci d'avance.

Soit $X = (x_1,x_2,x_3) \sim N (\mu, \Sigma)$ une variable aléatoire gaussienne multivariée de moyenne $\mu \in \R^3$ et de matrice de covariance $\Sigma \in \R^3 \times 3$. Sa fonction de densité est $f_{\mu,\Sigma}$ définie par:
$$f_{\mu,\Sigma}:X \mapsto (1/(\sqrt{2}\pi^3 \sqrt{|\Sigma|}) \times \exp(−1/2 Q_\Sigma (X−\mu))$$
Ou la fonction $Q_\Sigma : \R^3 \to \R$ est définie par $Q_\Sigma(X) = X^T Σ^{−1}X$.

1- Pourquoi $\Sigma$ est une matrice symétrique ?
2- Montrer que $\Sigma$ est diagonalisable.

Soit P la matrice de passage orthogonale vérifiant: $\Sigma = P^TDP$, ou $D = diag(\sigma_{12}, \sigma_2, \sigma_{32})$.

3- Exprimer $Q\Sigma$ en fonction de $P$ et de $D$ et exprimer le déterminant $|\Sigma|$ en fonction des $\sigma_{i2}$.
4- Soit $Y = X P$ la variable aléatoire obtenue par la transformation linéaire $P$.
Montrer que $Y \sim N(P\mu,D)$ (i.e. vérifier que la fonction de densité de la variable aléatoire $Y = (y_1,y_2,y_3)$ vérifie:
$$f(Y) = f_{\mu,\Sigma}(XP) = f_{P\mu,D}(Y)$$
On rappelle qu’une variable gaussienne $y \sim N(m, \sigma^2)$ a pour fonction de densité:
$$f_{m,\sigma^2}(y)= (1/\sqrt{2}\pi\sigma) \times \exp((−1/2) \times (y−m/\sigma)^2)$$
5- On note le vecteur $P_\mu = (m_1,m_2,m_3)$. Montrer que:
$$f_{P\mu,D}(Y) = \prod f_{m_i ,\sigma_i^2} (y_i)$$
Indication: vérifier d’abord que $QD(X) = \sum(x_i/\sigma)^2$.
6- Vérifier que les variables aléatoires $(y_1 , y_2 , y_3)$ sont indépendantes.
7- Vérifier que $y_i \sim N(m_i, \sigma^2)$.

[MB]

Bonjour, j'ai tenté de mettre en forme le message à l'aide de la syntaxe latex, mais il serait bon de vérifier que tout correspond bien au sujet initial. Pour l'instant je n'ai pas le temps de me pencher sur le problème lui-même.