Groupe de Galois

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nxtxn
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Groupe de Galois

Message non lu par nxtxn »

Bonjour,

Comment démontrer que $G_{\mathbb{Q}(\cos(\frac{2\pi}{n}))}^{\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi}{n}i})}$ est un sous-groupe normal de $G_{\mathbb{Q}}^{\mathbb{Q}(e^{\frac{2\pi}{n}i})}$ ?

Merci d'avance!
balf
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Re: Groupe de Galois

Message non lu par balf »

Bonsoir,

Que ce soit un sous-groupe distingué équivaut à montrer que l'extension $\mathbf Q\bigl(\cos \frac{2\pi}n\bigr)/\mathbf Q$ est galoisienne.

B. A.
nxtxn
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Re: Groupe de Galois

Message non lu par nxtxn »

Et comment pourrais-je démontrer que cette extension est galoisienne ?

Merci d'avance.
balf
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Re: Groupe de Galois

Message non lu par balf »

Bonsoir,
Ma remarque précédente n'est pas utile pour démontrer que que $\;\operatorname{Gal}\Bigl(\mathbf Q\Bigl(\mathrm e^{\tfrac{2i\pi} n}\Bigr)\Big/\mathbf Q\bigl(\cos\frac{2\pi} n\bigr)\Bigr)$ est un sous-groupe distingué de $\;\operatorname{Gal}\Bigl(\mathbf Q\Bigl(\mathrm e^{\tfrac{2i\pi} n}\Bigr)\Big/\mathbf Q\Bigr)$ puisque ce dernier est abélien, isomorphe au groupe multiplicatif $(\mathbf Z/n\mathbf Z)^{\times}$.

B. A.