Convergence d'une suite

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
cytax
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 2
Inscription : mercredi 29 septembre 2021, 18:31
Statut actuel : Étudiant

Convergence d'une suite

Message non lu par cytax »

Bonjour,

J'aurai besoin de votre aide pour comprendre la résolution d'un exercice. Je suis en 2ème année de Licence en économie et nous étudions les séries.

On nous demande de déterminer la convergence de la série de terme général:

$$\text{(a)} \quad U_n = \frac{2^n}{1+3^n} \quad\text{(b)}\quad U_n= \frac{n^2}{1+3^n} \quad\text{(c)}\quad U_n= n^{-2} \times \text{e}^n$$

Dans chacun des cas notre prof a utilisé Le Critère d'Alembert, or il me semble qu'il n'est utile uniquement avec des factorielles ?
Pouvez-vous s'il vous plaît m'apporter un moyen de connaître si la suite est convergente pour chacun de ces cas ?

Merci de votre aide. :D
kojak
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 10450
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Re: Convergence d'une suite

Message non lu par kojak »

Bonjour,

Le critère de d'Alembert en s'applique pas qu'avec des factorielles. A partir du moment où il te donne la réponse pour conclure, tant mieux.
Pour au moins la première des suites, il y a d'autres possibilités.
Après, quels sont les critères de convergence des séries que tu as dans ton cours ?
Pas d'aide par MP.
cytax
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 2
Inscription : mercredi 29 septembre 2021, 18:31
Statut actuel : Étudiant

Re: Convergence d'une suite

Message non lu par cytax »

Nous avons vu le critère de comparaison; critère de Cauchy et Riemann.
kojak
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 10450
Inscription : samedi 18 novembre 2006, 19:50

Re: Convergence d'une suite

Message non lu par kojak »

Vous n'avez pas vu également celui avec les équivalents ?
Pas d'aide par MP.
styren
Utilisateur confirmé
Utilisateur confirmé
Messages : 81
Inscription : vendredi 28 juillet 2017, 23:29

Re: Convergence d'une suite

Message non lu par styren »

Puisque tu as un "critère de comparaison", tu peux remarquer que $0<\frac{2^n}{1+3^n}<(\frac{2}{3})^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$et $0<\frac{n^2}{1+3^n}<\bigl(\frac{2}{3}\bigr)^n$ pour $n\geqslant4$.
Arthur Accroc
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 141
Inscription : lundi 17 octobre 2005, 20:33
Contact :

Re: Convergence d'une suite

Message non lu par Arthur Accroc »

cytax a écrit : mercredi 29 septembre 2021, 18:39 Dans chacun des cas notre prof a utilisé Le Critère d'Alembert, or il me semble qu'il n'est utile uniquement avec des factorielles ?
Pouvez-vous s'il vous plaît m'apporter un moyen de connaître si la suite est convergente pour chacun de ces cas ?
Le critère de d'Alembert est très bien... sauf quand il ne s'applique pas. Son vrai nom est "critère de comparaison aux suites géométriques", donc si ta suite est à convergence lente, il ne va rien t'apporter.
Dans un soucis pédagogique, je préfère ne pas trop l'employer, et privilégier les critères de comparaison. Par exemple, dans le deuxième cas, on sait que $\frac{n^\alpha}{3^n}$ a pour limite $0$ quel que soit $\alpha$. Donc $n^2U_n$ tend vers $0$, ce qui signifie que $U_n$ est négligeable devant $\frac{1}{n^2}$, terme général d'une série absolument convergente. pareil pour le troisième exemple.
Pour le premier, on t'a déjà donné une méthode simple : $\frac{2^n}{1+3^n}\le \left(\frac23\right)^n$, on peut aussi remplacer le $\le$ par un $\sim$.
L'idée est de "sentir" qui va dominer dans le comportement de la suite lorsque $n$ tend vers l'infini.
\bye

Arthur Accroc
Répondre
  • Sujets similaires
    Réponses
    Vues
    Dernier message