Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
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Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Bonjour,
Je veux montrer (1) :
$(F_2[Y]/(Y^2+Y+1))[X]/(X^2+X+Y)$ est isomorphe à $F_2 [X,Y]/(Y^2+Y+1, X^2+X+Y)$
$Y$ étant la classe de $Y$ dans $F_2 [Y]/(Y^2+Y+1)$.
Je remarque que $(F_2 [Y]/(Y^2+Y+1))[X]$ est isomorphe à $F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1)$.
On a donc :
$(F_2 [Y]/(Y^2+Y+1))[X]/(X^2+X+Y)$ isomorphe à $(F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1))/\pi(X^2+X+Y)$.
En appelant $\pi$ la la projection canonique de $F_2 [X,Y]$ vers $F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1)$.
Puisque par l’ isomorphisme $\varphi$ on a $\varphi(X^2+X+Y) = \pi(X^2+X+Y)$.
Si on applique à présent la propriété :
Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$ alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I,\pi^{-1}(J))$.
$\pi^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $\pi$.
Posant $A = F_2 [X,Y]$, $I= (Y^2+Y+1)$ et $J = \pi(X^2+X+Y)$, je ne vois pas pourquoi on aurait :
$\pi^{-1}[\pi(X^2+X+Y)]=(X^2+X+Y)$ et donc je ne vois pas comment démontrer (1).
Y a-t-il des erreurs dans mon tentative de démonstration. Si oui pouvez-vous m‘aider à en construire une qui soit juste.
Merci beaucoup.
Je veux montrer (1) :
$(F_2[Y]/(Y^2+Y+1))[X]/(X^2+X+Y)$ est isomorphe à $F_2 [X,Y]/(Y^2+Y+1, X^2+X+Y)$
$Y$ étant la classe de $Y$ dans $F_2 [Y]/(Y^2+Y+1)$.
Je remarque que $(F_2 [Y]/(Y^2+Y+1))[X]$ est isomorphe à $F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1)$.
On a donc :
$(F_2 [Y]/(Y^2+Y+1))[X]/(X^2+X+Y)$ isomorphe à $(F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1))/\pi(X^2+X+Y)$.
En appelant $\pi$ la la projection canonique de $F_2 [X,Y]$ vers $F_2[X,Y]/(Y^2+Y+1)$.
Puisque par l’ isomorphisme $\varphi$ on a $\varphi(X^2+X+Y) = \pi(X^2+X+Y)$.
Si on applique à présent la propriété :
Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$ alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I,\pi^{-1}(J))$.
$\pi^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $\pi$.
Posant $A = F_2 [X,Y]$, $I= (Y^2+Y+1)$ et $J = \pi(X^2+X+Y)$, je ne vois pas pourquoi on aurait :
$\pi^{-1}[\pi(X^2+X+Y)]=(X^2+X+Y)$ et donc je ne vois pas comment démontrer (1).
Y a-t-il des erreurs dans mon tentative de démonstration. Si oui pouvez-vous m‘aider à en construire une qui soit juste.
Merci beaucoup.
Dernière modification par MB le mardi 18 janvier 2022, 09:01, modifié 1 fois.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Bonjour, j'ai déplacé le sujet dans le bon forum et j'ai mis en forme le message avec latex, mais je ne suis pas certain de comprendre la propriété suivante.
YOURI1 a écrit : mardi 18 janvier 2022, 08:33 Soit $A$ un anneau, $I$ un idéal de $A$ et $J$ un idéal de $A/I$ alors $(A/I)/J$ est isomorphe à $A/(I,\pi^{-1}(J))$.
$\pi^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $\pi$.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Bonjour,
D'abord merci d'avoir mis en latex ma question.
Je donne l'explication pour $(A/I)/J$ isomorphe à $A(I,P^{-1}(J))$. avec $P$ projection canonique de $A$ vers $A/I$.
$P^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $P$.
En effet d'après un théorème d'isomorphisme sur les anneaux $(A/I)/P^{-1}(J)/I$ est isomorphe à $A/P^{-1}(J)$.
Or $A/P^{-1}(J) = A/(P^{-1}(J),I)$ puisque $P^{-1}(J)$ contient $I$.
D'abord merci d'avoir mis en latex ma question.
Je donne l'explication pour $(A/I)/J$ isomorphe à $A(I,P^{-1}(J))$. avec $P$ projection canonique de $A$ vers $A/I$.
$P^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $P$.
En effet d'après un théorème d'isomorphisme sur les anneaux $(A/I)/P^{-1}(J)/I$ est isomorphe à $A/P^{-1}(J)$.
Or $A/P^{-1}(J) = A/(P^{-1}(J),I)$ puisque $P^{-1}(J)$ contient $I$.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
La notation $A(I,P^{-1}(J))$ reste peu claire pour moi.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Bonsoir,
Merci encore pour la mise en forme en latex.
La notation $A/(I, P^{-1}(J))$ signifie que l'on considère l'espace quotient par l’idéal engendré par $I \cup P^{-1}(J)$.
Merci encore pour la mise en forme en latex.
La notation $A/(I, P^{-1}(J))$ signifie que l'on considère l'espace quotient par l’idéal engendré par $I \cup P^{-1}(J)$.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
D'accord donc il manque un symbole quotient. Je vais éditer les messages précédents.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Bonjour,
J'ai résolu mon problème car en appelant $P$ la projection canonique de $A$ vers $A/I$ j'étais passé à côté de ce que $P^{-1}(J) = I+J$.
Or si $I=(a)$ et $J=(b)$ alors $(a)+(b) =(a,b)$.
$P^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $P$.
Merci à MB pour la mise en latex de mon sujet et de mes réponses.
J'ai résolu mon problème car en appelant $P$ la projection canonique de $A$ vers $A/I$ j'étais passé à côté de ce que $P^{-1}(J) = I+J$.
Or si $I=(a)$ et $J=(b)$ alors $(a)+(b) =(a,b)$.
$P^{-1}(J)$ désignant l'image réciproque de $J$ par $P$.
Merci à MB pour la mise en latex de mon sujet et de mes réponses.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Merci pour le retour. Et en ce qui concerne la mise en forme latex, un petit guide est disponible ici.
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Bonjour.
Pour ce type d'isomorphisme, l'idéal est de raisonner en général. L'abstraction, cela a du bon. ;-)
Pour ce type d'isomorphisme, l'idéal est de raisonner en général. L'abstraction, cela a du bon. ;-)
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Re: Isomorphisme dans $F_2[X,Y]$
Bonjour,
L'idée que je n'ai pas développée dans ma question est d'établir qu'on est en fait dans F16 et pour cela je ne pouvais raisonner en restant dans un cadre général.
L'idée que je n'ai pas développée dans ma question est d'établir qu'on est en fait dans F16 et pour cela je ne pouvais raisonner en restant dans un cadre général.