Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

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Arthur Accroc
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Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Arthur Accroc »

Bonjour.

Je dois montrer, à l'aide d'une décomposition en éléments simples (et pas une application du théorème des résidus) que
$$\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t=\frac{\pi}{2n\sin\frac{m\pi}{2n}}$$
où $m$ et $n$ sont des entiers, $1\le m<2n$.
  1. J'ai montré que
    $$\frac{X^{m-1}}{1+X^{2n}} = \sum_{k=-n}^{n-1} \frac{\alpha_k}{X-\omega_k}$$
    où $\omega_k={\rm e}^{i\theta_k}$, $\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ et $\alpha_k=-\frac{\omega_k^m}{2n}$.
  2. Ensuite, posant $A>0$,
    $$\int_0^A \frac{{\rm d}t}{t-\omega_k} = \ln A+\frac12\ln(1-2/A\cos\theta_k+1/A^2) + {\rm i}\left(\arctan\frac{A-\cos\theta_k}{\sin\theta_k} + \arctan\frac{\cos\theta_k}{\sin\theta_k}\right)$$
  3. Quand $A\to+\infty$, la somme des termes logarithmiques tend vers $0$, parce que la somme des résidus $\alpha_k$ est nulle.
  4. Pour trouver la limite des termes en $\arctan$, Je les groupe deux par deux, associant celui associé à $k$ à celui associé à $-k-1$, avec $0\le k\le n-1$, parce que $\theta_{-k-1}=-\theta_k$, et $\sin\theta_k>0$ lorsque $0\le k\le n-1$ et $\sin\theta_k<0$ si $-n\le k\le -1$. J'obtiens
    $${\rm i}(\alpha_k-\overline{\alpha_k})\left(\frac\pi2+\arctan\frac{\cos\theta_k}{\sin\theta_k}\right)$$
  5. Ensuite je trouve que, que $\cos\theta_k$ soit positif ou négatif, cette limite peut être écrite $\frac{1}{n}\sin(m\theta_k)(\theta_k-\pi)$.
  6. La somme de ces limites est, à une constante près, la somme de Riemann de la fonction $f:t\mapsto\sin(mt)(t-\pi)$ sur l'intervalle $\left[0,\frac\pi2\right]$, qui est, sauf erreur,
    $$\frac\pi m\left(\frac12\cos(m\frac\pi2)-1\right)+\frac{\sin(m\pi/2)}{m^2}$$
    Or même après multiplication par la constante manquante, je n'arrive pas à retrouver le résultat demandé.
Si vous avez eu la patience de me lire jusqu'ici, avez-vous une idée de l'endroit où je me serais planté ? J'ai déjà refait le calcul quatre ou cinq fois, ai trouvé deux ou trois erreurs, mais rien qui m'approche du résultat attendu.

Si vous avez une idée, je suis preneur :-)

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Arthur Accroc
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Arthur Accroc »

Petite erreur dans le point 6 : il faut changer les $p$ en $m$. Sorry, je ne sais pas comment éditer le message.
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Arthur Accroc
MB
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par MB »

Bonjour, j'ai effectué les modifications signalées. Par contre je n'ai pas le temps de me pencher sur le calcul ...
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Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
Arthur Accroc
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Arthur Accroc »

Merci.

D'après des calculs effectués avec un moteur de calcul formel, ce que j'ai trouvé semble juste jusqu'au point 5. Le problème semble donc provenir de mon interprétation de la somme finale comme somme de Riemann, ou du calcul qui s'ensuit...
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Arthur Accroc
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Arthur Accroc »

Stupid me !!!

Je viens de me rendre compte que je ne dois pas trouver la limite dans le point 6 : $n$ est un paramètre fixé. Ce que je dois faire est trouver une forme close de la somme
$$\frac1n\sum_{k=0}^{n-1} \sin(m\theta_k)(\pi-\theta_k)$$
ce qui est un tout autre problème !
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Arthur Accroc
Onès
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Onès »

Bonsoir.

La 1ere des choses, c'est de montrer que l'intégrale converge. Si non, il serait inutile de la calculer. Sur ce, il faut que $ 2n-m+1$ soit strictement supérieur à 1 : comme intégrale de Riemann.

Secondo, puisque c'est par le théorème de résidu tu veux procéder, alors il faut définir un contour bien adéquat qui te permet de trouver la valeur de ton intégrale sur $ [ 0, \inf[ $ .. Alors je te propose de prendre un contour fermé qui sera une portion de cercle ( un arc) de rayon R > 1 (après tt, on va tendre le R vers +inf). Maintenant, la fonction définit dans ton intégrale a plusieurs pôles. Donc il serait mieux de prendre ton contours de tel sorte que tu n'auras pas assez de pôle inclus dans ton contours pour pouvoir appliqué le théorème des résidus. Sur ce, il est conseillé ou mieux de prendre le contour formé des segments $[OA] , [OB]$ et de l'arc AB tel que le point A a pour affixe $ R $ et le point B d'affixe
: $\exp{(\frac{i2\pi}{n})} $ . Dans ce contours, tu vas constater que seul un seul pôle y figure. Je te laisse identifier ce pôle. Et donc, tu applique le théorème de résidus avec ce pôle seul. En tendant R vers +inf, tu verras que l'intégrale sur l'arc AB doit donner 0 en appliquant le théorème de Jordan (ou bien tu peux démontrer) . L'expression restera donc, l'intégrale sur les deux segments égale au résidu du pôle contenu dans ton contours.
Et en faisant des calculs et changement mathématiques de la formule de sinus sous forme exponentielle complexe, tu verras le résultat exactement.

Merci
Arthur Accroc
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Arthur Accroc »

Je crois que tu n'as pas bien lu mon message ;-)
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Arthur Accroc
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Onès »

Bonjour.
Ou bien peut-être vous avez mal posé votre question. Je croyais que le problème, c'est de démontrer l'égalité par le théorème des résidus (en résumé).
Arthur Accroc
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Arthur Accroc »

Arthur Accroc a écrit : mardi 14 juin 2022, 01:26 Je dois montrer, à l'aide d'une décomposition en éléments simples (et pas une application du théorème des résidus)...
;) ;) ;)
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Arthur Accroc
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Re: Difficulté à calculer $\int_0^{+\infty} \frac{t^{m-1}}{1+t^{2n}}{\rm d}t$

Message non lu par Arthur Accroc »

Et au fait, j'ai trouvé mon erreur, qui est dans le point 6, j'ai intégré de $0$ à $\pi/2$ au lieu de $\pi$. :roll:

Désolé pour le bruit.
\bye

Arthur Accroc