Montrer qu'une fonction est strictement décroissante sur $\R$

[Matrom]

Montrons que la fonction $f:\R \rightarrow R$ définie par $f(x)=\sin(x)-x$ est strictement décroissante sur $\R$.
Pour tout $x \in \R$, on a $f'(x)=\cos(x)-1$ et $\cos(x)-1 \leqslant 0$ dont $f$ est $f'$ est négatif sur $\R$.

On montre maintenant que $\forall k \in \N$, $f'$ s'annule en $2k+1$ points sur $[-2k\pi;2k\pi]$.
Soit $k \in \N$. On a pour tout $x \in [-2k\pi;2k\pi]$ :

$f'(x)=0 \iff \cos(x)=1 \iff \exists m \in \Z; x=2m\pi\text{ et } x \in [-2k\pi;2k\pi] \iff \exists m \in [-k;k];x=2m\pi\text{ et }\mathrm{card}([-k;k])=2k+1$ donc $f'$ s'annule en $2k+1$ points sur $[-2k\pi;2k\pi]$.

Donc $\forall k \in \N$, $f'$ s'annule en un nombre fini de points sur $[-2k\pi,2k\pi]$.
Donc $\forall k \in \N$, $f$ est strictement décroissante sur $[-2k\pi;2k\pi]$.
Donc $\forall k \in \N$, $\forall (x;y) \in [-2k\pi;2k\pi]^2$, $x<y \iff f(x)>f(y)$ (*).

On prend $(x;y) \in \R^2$ avec $x<y$ donc $\exists k \in \N; (x;y) \in [-2k\pi;2k\pi]^2$ et d'après (*) on en déduit que $f(x) > f(y)$.

$f$ est donc strictement décroissante sur $\R$.

[MB]

Bonjour et désolé pour la réponse tardive. Il fallait éditer le message mais le raisonnement semble correct.

[Matrom]

D'accord, merci bien!

[Malgame]

Les deux premières lignes suffisent.
Si la dérivée est négative ou nulle, mais nulle seulement en des points isolés, c'est à dire qu'il n'existe aucun intervalle où la dérivée est nulle, la fonction est strictement décroissante.