Montrer qu'une fonction est strictement décroissante sur $\R$

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Matrom
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Montrer qu'une fonction est strictement décroissante sur $\R$

Message non lu par Matrom »

Montrons que la fonction $f:\R \rightarrow R$ définie par $f(x)=\sin(x)-x$ est strictement décroissante sur $\R$.
Pour tout $x \in \R$, on a $f'(x)=\cos(x)-1$ et $\cos(x)-1 \leqslant 0$ dont $f$ est $f'$ est négatif sur $\R$.

On montre maintenant que $\forall k \in \N$, $f'$ s'annule en $2k+1$ points sur $[-2k\pi;2k\pi]$.
Soit $k \in \N$. On a pour tout $x \in [-2k\pi;2k\pi]$ :

$f'(x)=0 \iff \cos(x)=1 \iff \exists m \in \Z; x=2m\pi\text{ et } x \in [-2k\pi;2k\pi] \iff \exists m \in [-k;k];x=2m\pi\text{ et }\mathrm{card}([-k;k])=2k+1$ donc $f'$ s'annule en $2k+1$ points sur $[-2k\pi;2k\pi]$.

Donc $\forall k \in \N$, $f'$ s'annule en un nombre fini de points sur $[-2k\pi,2k\pi]$.
Donc $\forall k \in \N$, $f$ est strictement décroissante sur $[-2k\pi;2k\pi]$.
Donc $\forall k \in \N$, $\forall (x;y) \in [-2k\pi;2k\pi]^2$, $x<y \iff f(x)>f(y)$ (*).

On prend $(x;y) \in \R^2$ avec $x<y$ donc $\exists k \in \N; (x;y) \in [-2k\pi;2k\pi]^2$ et d'après (*) on en déduit que $f(x) > f(y)$.

$f$ est donc strictement décroissante sur $\R$.
Dernière modification par MB le samedi 16 avril 2022, 09:26, modifié 1 fois.
MB
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Re: Montrer qu'une fonction est strictement décroissante sur $\R$

Message non lu par MB »

Bonjour et désolé pour la réponse tardive. Il fallait éditer le message mais le raisonnement semble correct.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
Matrom
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Re: Montrer qu'une fonction est strictement décroissante sur $\R$

Message non lu par Matrom »

D'accord, merci bien!