Bonjour,
Soit $n$ un entier naturel non nul et $\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_n$ $n+1$ réels. Soit la matrice $A$ de taille $n+1$ définie par :
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & \alpha_1 \\
0 & 1 & \cdots & \alpha_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha
\end{pmatrix}$$
A l'aide d'une récurrence sur $n,$ on peut montrer que $\det(A) = \alpha - \displaystyle \sum_{i=1}^{n}\alpha_i^2.$ Mais je n'arrive pas à montrer que si $\det(A) > 0,$ alors $A$ est définie positive.
J'ai d'abord tenté d'exhiber une matrice $S$ vérifiant $^tSS = A.$ sans succès.
Considérons $\lambda$ une valeur propre (réelle ici) et $X$ un vecteur propre. Alors, on a $^tXAX = \lambda ^tXX = \lambda \lVert X \rVert $ avec $X \neq 0$ mais $\lambda$ est un réel pouvant être négatif voire nul... je n'arrive pas à faire le lien avec ce qu'il faut montrer et l'hypothèse $\det(A) > 0.$
D'avance merci
Matrices symétriques définies positives
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Re: Matrices symétriques définies positives
Bonjour
La valeur du déterminant a un lien avec les valeurs propres.
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Un peu d'autopromotion.
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Re: Matrices symétriques définies positives
$A-I_n$ est de rang au plus $2$, donc $1$ est valeur propre d'ordre de multiplicité au moins $n-1$. Les deux dernières valeurs propres ont une somme égale à $n+\alpha$, un produit dont le signe est celui de $\det(A)$. Si celui-ci est positif, ces valeurs propres sont de même signe, et ne peuvent être négative parce que l'hypothèse impose $\alpha>0$.
SGDG, j'ai pas fait ça depuis un petit moment...
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Arthur Accroc
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