Étude d'une fonction implicite

[JRManda]

Étude de la fonction $$f(x)=\int_{x}^{2x}\frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t$$

[projetmbc]

Bonjour.

Quelle est la question ?

[JCL]

Bonjour,
Rien de franchement implicite dans tout cela.

$f$ est $\mathcal C^{\infty},\:\text{ impaire}\:\:\forall x \in \R^*,\:\: f'(x) =\dfrac{\sin x(2\cos x-1)}x, \:\:f'(0) =1$.

$f(0)=0,\quad \forall k \in\N^*,\: f(2k\pi)>0, \:\:f((2k+1)\pi)<0,$
$\forall k \in \N,\: f $ est croissante sur $[2k\pi ; 2k\pi+\frac {\pi}3]\:$ et sur $[(2k+1)\pi ; (2k+1) \pi + \frac{2\pi}3],\:$ décroissante sur $[2k\pi +\frac{\pi}3;(2k+1) \pi]$ et sur $[(2k+1)\pi +\frac{2\pi}3; (2k+2)\pi]$.

$\displaystyle \lim_{+\infty} f =0$.