Théorie de Galois

[YOURI1]

Bonjour,

Je suis arrêté par une démonstration en théorie de Galois car je ne comprends pas ou intervient l'hypothèse en rouge.

Merci de bien vouloir m'aider.
Youri1

[JCL]

Bonjour Youri,

"Si de plus $a\notin \mathbb K$ et $\text{Gal}(\mathbb K(a)/\mathbb K)$ est isomorphe à $\mathcal U_n$".

Cette "phrase"est assez nébuleuse.
S'il faut lire: $\quad"\:\:\text{ Si }a\notin \mathbb K,\:\:\text { alors } \:\:\text{Gal}(\mathbb K(a)/\mathbb K)\simeq\mathcal U_n \:\:"$, alors c'est faux.

Soit $\mathbb K=\mathbb F_{19}.\quad P(X)= X^2-4X+1$ est irréductible sur $\mathbb K$. Soit $a$ une racine de $P$ dans une extension de $\mathbb K$.
Alors $a\notin \mathbb K,\:\:a^2 =4a-1, \:\:a^3=-4a-4,\:\:a^4 =-a+4,\:\: a^5 =1$.
$a$ est une racine $5$-ième primitive de $1$, et $\mathbb K(a)$ est une extension galoisienne de degré $2$ de $\mathbb K$. Or:
$$\left|\text{Gal}\left(\mathbb K(a)/\mathbb K\right)\right| =2, \quad \left |\mathcal U_5\right| =4$$

[YOURI1]

Bonsoir LCL,

La démonstration du livre me semble fonctionner pour a racine primitive quelconque mais ton contre exemple montre que ce n'est pas possible.
Qu'est ce qui cloche? Est ce la démonstration proposée ou bien l'énoncé qui devrait être formulé autrement.
j'ai pris cette démonstration dans le Gozard " théorie de Galois " dans le chapitre" Equations résolubles par radicaux ".

Merci une fois de plus de m'apporter tes lumières.

Youri 1

[JCL]

Re,
$\theta$ est surjectif si et seulement si $\overline{\Phi_n(X)}$ (polynôme cyclotomique) est irréductible sur $\mathbb K.$
Et même si $a\notin \mathbb K,$ ce n'est pas toujours le cas.
Dans mon exemple, $\quad\overline{\Phi_5(X) }=(X^2-4X+1)(X^2+5X+1),\quad\text{Im }\theta =\left \{\overline 1, \overline 4\right \}\neq \mathcal U_5.$

[YOURI1]

Bonjour JCL,

Je suis trés etonné que Gozard ait pu ecrire quelque chose de faux comme le montre ton contre exemple si judicieux.
La factorisation du polynôme cyclotomique m'a été fournie avec la commande Berlekamp de MAPLE.

Est ce que tu t'y es pris autrement ?

Sais tu les raisons pour lesquelles le forum "les-mathématiques .net" ne fonctionne plus ?

Un grand merci pour les aides que tu m'apportes.

Bonne journée,
Youri1.

[JCL]

Bonjour Youri,

Est ce que tu t'y es pris autrement?

Soit $p=19,.\quad \mathbb K =\mathbb F_p,\quad \mathbb L=\mathbb F_{p^2}.\quad$ Alors $ \:\: p^2-1\equiv 0 \mod 5.\:\:\Phi_5[X]$ est donc scindé dans $\mathbb L[X]$.
Soit $a$ une racine de $\Phi_5.\:\:a\in\mathbb L.\quad p-1\not\equiv 0 \mod5,\:\: $ donc $a\notin \mathbb K.\:\:\mathbb L =\mathbb K(a), \:\:\:\text{deg}\left(\text{ Irr }(a,\mathbb K)\right) =[\mathbb L:\mathbb K]=2$.
$\Phi_5=PQ,\: $où $P$ et $Q$ sont des polynômes unitaires, irréductibles de degré $2$ de $\mathbb K[X]$.
$P(X)=(X-a)(X-a^{-1}) =X^2+uX+1,\quad Q(X)=(X-a^2)(X-a^{-2}) =X^2+vX+1,\quad u,v \in \mathbb K$.
Par identification des coefficients de $\Phi_5$ et de $PQ$, on parvient à: $\begin{cases} u+v=1\\uv=-1\end{cases},\:\:$ puis à $\:\:\{u,v\} =\{-4,5\}$.

Sais tu les raisons pour lesquelles le forum "les-mathématiques .net" ne fonctionne plus ?

Non.

[YOURI1]

Merci beaucoup.
Youri1

[YOURI1]

[YOURI1]

Bonjour JCL,

Après réflexion, j'ai réussi à surmonter toutes les difficultés rencontrées sans passer par les conditions que tu observes sur $p^2-1$ et sur $p-1$ et en utilisant le corps de rupture d'un polynôme irréductible de la décomposition en polynômes irréductibles de $\varphi_5(X)$. Au résultat de cours mentionné précédemment en bleu, on montre de plus que les degrés de ces polynômes irréductibles sont égaux à $m$.
Ta solution pour la décomposition sur $F_p^2$ me fait revoir mon cours de manière intéressante.

Cependant, ce sera formateur pour moi de savoir comment tu t'y es pris de manière détaillée.

En te remerciant.

[YOURI1]

Bonjour JCL,

Il y a peut être des résultats de cours que j'ignore car j'ai cherché trés longtemps avant de surmonter tous les obstacles. La connaissance du corps de rupture n'est pas suffisante même si elle est une étape. Il y a en effet des résultats sur les degrés de la décomposition en polynômes irréducibles du polynôme cyclotomique dans les corps finis.

[JCL]

Bonsoir Youri,
Je vais m'efforcer de répondre aux questions du message du samedi 16 septembre.
$\Phi_5(X)= (X-a)(X-a^2)(X-a^3)(X-a^4).$
Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique.$ \:\mathbb F_q^{\times} $ est donc un groupe cyclique d'ordre $q-1.$
Ainsi, si $p^2-1\equiv 0 \mod 5, \:$ alors $\mathbb F_{p^2} $ contient toutes les racines $5-\text{ièmes } $ de l'unité, et si $p-1\not\equiv 0 \mod 5, \:$ alors $\mathbb F_p$ n'en contient aucune en dehors de $1.$ $\quad a\in \mathbb F_{p^2}\setminus \mathbb F_p.$
Ainsi $\mathbb F_p(a)=\mathbb F_{p^2}\:$ est une extension galoisienne de degré $2$ de $\mathbb F_p.\:\:$ Soient $P=\text{Irr }(a,\mathbb F_p),\:\:G = \text{ Gal}(\mathbb F_{p^2}/\mathbb F_p) =\{\text{Id},\sigma\}.$
Il vient :$\:\sigma^2=\text{Id},\:\:\sigma (a) =a^k,\:\:k\in\{2,3,4\},\:\:a=\sigma^2(a) =a^{k^2},\:\:k^2\equiv 1 \mod 5,\:\:\:k=4,\:\:\sigma (a)= a^4,\quad P(X)=(X-a)(X-a^4).$
Enfin, avec $Q(X):=(X-a^2)(X-a^3),\:\: \Phi_5 =PQ,\:\:\:P,Q\in\mathbb F_p[X].$

[YOURI1]

Bonjour Jcl,

J'avais oublié le fait qu'un corps Fq contient une racine n-ième de l'unité ssi n divise q-1.
A partir de ce résultat tout devient simple.
L'erreur de Gozard m'a permis de bien rafraîchir ma mémoire.

Merci pour ton aide si précieuse,

Bonne journée,

Youri