Courbes pluri-anallagmatiques

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Malgame
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Courbes pluri-anallagmatiques

Message non lu par Malgame »

Une courbe invariante par inversion géométrique est dite anallagmatique. Les plus évidentes sont la droite (quand elle passe par le pôle) ou le cercle (quand il ne passe pas par le pôle), mais il y en a beaucoup d'autres (voir le site des courbes de Férréol) la plus familière par exemple étant la strophoïde (mais le pôle doit être pris en un point précis).
Un cercle, ou une droite, sont invariants dans une infinité d'inversions.
Je me suis demandé s'il existait des courbes qui, sans être un cercle ni une droite, pouvaient être invariants par plusieurs inversions.
2inv.pdf
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La figure F en rouge est constituée par une corde [AB] et le petit arc de cercle allant de A jusqu'à B.
Toute inversion dont le pôle est sur la droite (AB) et dont la puissance fait qu'elle échange les points A et B laisse invariante F.
De plus en notant $\mathscr{C}$ le cercle qui contient l'arc AB considéré, le pôle O étant pris à son "pôle sud" et la puissance telle que A est invariant (et B aussi) cette inversion laisse également F invariante puisqu’elle échange les points de la corde et ceux de l'arc AB.
Il y a donc une infinité d'inversion laissant F invariante, mais essentiellement DEUX, si on n'en considère qu'une seule de pôle sur (AB).
On peut prouver (la figure suggère comment) que ces deux inversions commutent.
Intuitivement, je pense qu'on ne peux pas trouver une figure invariante par (essentiellement) plus de deux inversions.
Il faudrait prouver que si F est invariante par trois inversions, c'est un cercle.