Isométrie et sous-espace stable

[James]

Bonjour,

Je souhaite démontrer le théorème suivant :

Soit $u$ une isométrie de $E.$ Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u,$ alors son orthogonal $F^{\perp}$ est aussi stable par $u.$

L'énoncé ne précise pas que $E$ est de dimension finie. Donc on ne peut pas utiliser la formule du rang. On sait en revanche que $u$ est toujours injective. Je n'arrive pas à voir comment à partir de là montrer que $\dim u(F) = \dim F.$ Je serai tenté d'écrire : $$\dim u(F) = \dim \ker u + \dim F$$
Le résultat en découle mais je ne suis pas en mesure, d'après les hypothèses de l'énoncé de justifier proprement.

D'avance merci

James.

[JCL]

Bonjour,
Je ne vois aucun problème pour l'égalité $\dim u(F)= \dim F $ , dès lors que $\boxed{\dim F \text{ est finie.}}$
Il suffit, par exemple, d'appliquer le théorême du rang à $u_{/F}\:\:$(restriction de $u$ à $F$).

[projetmbc]

Sauf erreur de ma part, on doit être dans un espace de dimension finie. Via l'espace des suites de carrés sommables, et l'opérateur SHIFT, on devrait avoir un contre-exemple.

[JCL]

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, on doit être dans un espace de dimension finie. Via l'espace des suites de carrés sommables, et l'opérateur SHIFT, on devrait avoir un contre-exemple.

"$F \text{ de dimension finie } $" suffit.
En effet, on a dans ce cas $u(F)=F.\quad\forall x\in ^{\perp}F,\:\:\forall y\in F,\:\: u^{-1}(y) \in F,\:\:\langle u(x)|y\rangle =\langle x|u^{-1}(y)\rangle =0,\quad u(x)\in^{\perp}F.$