Existence d'une fonction réelle

[adem19s]

Salut tout le monde.
Existe t-il une fonction réelle $f$ qui vérifie la relation suivante ?
$$f \circ f(x)=x^2+x+5$$

[projetmbc]

On peut commencer par chercher une éventuelle solution dérivable...

[adem19s]

Comment commencer ?

[projetmbc]

Analyser des types particuliers de fonction. Cela donnerait quoi avec une fonction développable en série entière par exemple, avec une fonction infiniment dérivable, etc.

[MB]

Il s'agit d'un exercice de niveau primaire ou secondaire ?

[adem19s]

Secondaire.

[adem19s]

Si cette fonction existe, forcément elle n'est pas une fonction polynomiale.

[adem19s]

Analyser des types particuliers de fonction. Cela donnerait quoi avec une fonction développable en série entière par exemple, avec une fonction infiniment dérivable...

Un exemple de ce type de fonctions.

[projetmbc]

À quel niveau cet exercice a-t-il été posé ? 2G ? 1G ? TG ?

[adem19s]

Secondaire.

La question était le calcul de $f(2)$, sachant que $f \circ f(x)=x^2+x+5$. Mais avant de répondre à la question posée, il faut penser à l'existence de cette fonction $f$. Ma question est donc de savoir si une telle fonction existe vraiment, peu importe le niveau d'étude. Merci.

[guiguiche]

Si une telle fonction $f$ existe alors elle n'est ni monotone (donc pas affine), ni injective, ni surjective. En notant $J=f(\R)$, on a aussi $\left[19/4,+\infty\right[ \subset J$.
Pas sûr qu'il soit faisable d'en obtenir une à l'aide de nos fonctions usuelles. Probablement, une telle fonction est constructible. Mais récupérer la continuité et la dérivabilité (et la classe $\mathcal{C}^{\infty}$) par composée ne doit pas être simple.

[adem19s]

Un article sur les fonctions constructibles.

[projetmbc]

Comment a été calculé $f(2)$ ?

Si on veut une telle équation fonctionnelle sur $\mathbb{R}$ tout entier, pas de fonctions développables en série entière, car elle serait forcément polynomiale...

[projetmbc]

Si une telle fonction $f$ existe alors elle n'est ni monotone (donc pas affine), ni injective, ni surjective.

Pourquoi ?

[guiguiche]

Une composée de deux fonctions monotones est monotone. Idem pour injective et surjective.

[projetmbc]

Quel idiot je fais... Je vais m'infliger 3 Bourbaki pour la peine...

[MB]

La question était le calcul de $f(2)$, sachant que $f \circ f(x)=x^2+x+5$. Mais avant de répondre à la question posée, il faut penser à l'existence de cette fonction $f$.

La question de l'existence d'une telle fonction $f$ définie sur $\R$ est tout à fait pertinente, mais la réponse semble assez délicate. Je vous suggère de consulter ce lien, qui renvoie vers ce document, dans lequel figure un théorème affirmant l'existence d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f \circ f(x) = ax^2+(b+1)x+c$ si et seulement si $b^2-4ac \leqslant 1$.

[projetmbc]

Que cela semble joli... Un truc en lire pendant les vacances pour s'évader un peu. En ce moment, il y en a besoin.

Merci pour le partage.