Existence d'une fonction réelle

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adem19s
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Existence d'une fonction réelle

Message non lu par adem19s »

Salut tout le monde.
Existe t-il une fonction réelle $f$ qui vérifie la relation suivante ?
$$f \circ f(x)=x^2+x+5$$
projetmbc
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par projetmbc »

On peut commencer par chercher une éventuelle solution dérivable...
adem19s
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par adem19s »

Comment commencer ?
projetmbc
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par projetmbc »

Analyser des types particuliers de fonction. Cela donnerait quoi avec une fonction développable en série entière par exemple, avec une fonction infiniment dérivable, etc.
Dernière modification par projetmbc le dimanche 15 octobre 2023, 09:43, modifié 1 fois.
MB
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par MB »

Il s'agit d'un exercice de niveau primaire ou secondaire ? :think:
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Pas d'aide en message privé. Merci de consulter ce sujet avant de poster votre premier message.
adem19s
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par adem19s »

Secondaire.
adem19s
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par adem19s »

Si cette fonction existe, forcément elle n'est pas une fonction polynomiale.
adem19s
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par adem19s »

projetmbc a écrit : samedi 14 octobre 2023, 16:25 Analyser des types particuliers de fonction. Cela donnerait quoi avec une fonction développable en série entière par exemple, avec une fonction infiniment dérivable...
Un exemple de ce type de fonctions.
projetmbc
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par projetmbc »

À quel niveau cet exercice a-t-il été posé ? 2G ? 1G ? TG ?
adem19s
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par adem19s »

Secondaire.

La question était le calcul de $f(2)$, sachant que $f \circ f(x)=x^2+x+5$. Mais avant de répondre à la question posée, il faut penser à l'existence de cette fonction $f$. Ma question est donc de savoir si une telle fonction existe vraiment, peu importe le niveau d'étude. Merci.
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par guiguiche »

Si une telle fonction $f$ existe alors elle n'est ni monotone (donc pas affine), ni injective, ni surjective. En notant $J=f(\R)$, on a aussi $\left[19/4,+\infty\right[ \subset J$.
Pas sûr qu'il soit faisable d'en obtenir une à l'aide de nos fonctions usuelles. Probablement, une telle fonction est constructible. Mais récupérer la continuité et la dérivabilité (et la classe $\mathcal{C}^{\infty}$) par composée ne doit pas être simple.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par adem19s »

Un article sur les fonctions constructibles.
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par projetmbc »

Comment a été calculé $f(2)$ ?

Si on veut une telle équation fonctionnelle sur $\mathbb{R}$ tout entier, pas de fonctions développables en série entière, car elle serait forcément polynomiale...
Dernière modification par projetmbc le lundi 16 octobre 2023, 16:49, modifié 1 fois.
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par projetmbc »

guiguiche a écrit : lundi 16 octobre 2023, 10:35 Si une telle fonction $f$ existe alors elle n'est ni monotone (donc pas affine), ni injective, ni surjective.
Pourquoi ?
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par guiguiche »

Une composée de deux fonctions monotones est monotone. Idem pour injective et surjective.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par projetmbc »

Quel idiot je fais... :oops: Je vais m'infliger 3 Bourbaki pour la peine... :crazy:
MB
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par MB »

adem19s a écrit : dimanche 15 octobre 2023, 21:37 La question était le calcul de $f(2)$, sachant que $f \circ f(x)=x^2+x+5$. Mais avant de répondre à la question posée, il faut penser à l'existence de cette fonction $f$.
La question de l'existence d'une telle fonction $f$ définie sur $\R$ est tout à fait pertinente, mais la réponse semble assez délicate. Je vous suggère de consulter ce lien, qui renvoie vers ce document, dans lequel figure un théorème affirmant l'existence d'une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f \circ f(x) = ax^2+(b+1)x+c$ si et seulement si $b^2-4ac \leqslant 1$.
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projetmbc
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Re: Existence d'une fonction réelle

Message non lu par projetmbc »

Que cela semble joli... Un truc en lire pendant les vacances pour s'évader un peu. En ce moment, il y en a besoin.

Merci pour le partage.