[TS] Problème de trigonométrie

[Paul3784]

Bonjour j'envoie cet exercice particulier car je dois préparer un oral et à vrai dire j'ai compris peu de chose dans cet exo, le voici (je sais pas pourquoi mon code latex s'affiche mal).

Quelqu'un pourra-t-il le corriger svp? (et/ou donner son avis sur les productions d'élèves svp)

La figure ci-contre représente une portion d'un disque de centre $A$ et de rayon 1. On fait varier la mesure en radian de l'angle $\widehat{BAC}$ dans l'intervalle $]0;\pi]$.

Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-3}$ d'une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ pour laquelle il y a égalité des aires de la surface hachurée et de la surface quadrillée.

Adapté du manuel Math'x terminale S spécifique programme 2012.

Le travail à exposer.

1- Analysez les productions de ces deux élèves en mettant en évidence les compétences acquises, les erreurs éventuelles ainsi que l'aide que vous pourriez leur apporter.
2- Proposez une correction de l'exercice telle que vous la présenteriez devant une classe de première spécialité mathématiques, en vous appuyant sur les productions des élèves.

Voici ce que je pense des réponses des deux élèves :

Donc pour l'élève 1 l'aire du triangle est ok mais l'aire du secteur angulaire est fausse puisque c'est $\alpha/2$ si $\alpha$ correspond à l'angle $\widehat{BAC}$.
Or il a posé $\alpha=\widehat{BAC}/2$.
Pour l'élève 2 le problème est sur la dérivée.
Sinon pour l'équation $f(x)=0$.
L'élève 2 a la même chose que vous puisque c'est $x-\sin(2x)$ avec $x=\alpha/2$. Donc $\alpha=2x$.

Pour l'élève 1 le problème vient de l'aire du secteur angulaire qui n'est donc pas $\alpha$ mais $\alpha/2$ avec $\alpha = \widehat{BAC}/2$ soit $\widehat{BAC}=2\alpha$.
Donc l'aire du secteur angulaire est $2 \alpha /2= \alpha$.
Or il a écrit $\alpha/2$ après ma correction de l'exo n'a rien d'extra moi même je n'ai pas compris comment trouver les solutions à la main, et avec un programme informatique bof.

[MB]

Bonjour,

Il me semble que les deux élèves tombent sur la même équation puisque $x = \alpha/2$.

L'élève 2 se trompe effectivement dans le calcul de la dérivée de $f$ et ne répond de toutes façons pas à la question puisqu'on lui demande un encadrement au millième de la solution.

Et puisqu'il ne s'agit pas de déterminer une solution exacte, l'usage d'un programme Python semble tout à fait envisageable.

[Paul3784]

Merci pour votre aide, voici mon programme python (je sais pas trop comment faire avec geogebra ou calculette).
Voici les images.

Ça affiche la courbe de la fonction $\sin(x)/x$ et la droite de constante $1/2$. On peut voir le point de croisement entre les 2. Et à l'aide d'une boucle for j'estime le point $x$ le plus proche pour lequel $f(x) = 1/2$.

[MB]

Serait-il possible de copier le code du programme Python directement dans une balise code, plutôt que de l'indiquer sous forme d'image ?

[Paul3784]

Oui bien sûr.

Code : Tout sélectionner

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return np.sin(x) / x

#intervalle de alpha
print("interval [0, pi]")
borne_inf = float(input("entrez la borne inférieure:"))
borne_sup = float(input("entrez la borne supérieure:"))

if borne_inf<=0:
	borne_inf=0.1

# Tracer les fonctions
x_values = np.linspace(borne_inf, borne_sup, 1000)
y_values_f = f(x_values)

fonction_constante = np.full_like(x_values, 1/2)

min = 10
for x in x_values:
	a = abs(f(x)-1/2)
	if a < min:
		min = a
		minx = x

print("valeur de alpha:", minx, "f(alpha)", f(minx))

plt.plot(x_values, y_values_f)
plt.plot(x_values, fonction_constante, linestyle='--')

plt.title('Graphique des fonctions')
plt.xlabel("alpha")
plt.ylabel('alpha/sin(alpha)')
plt.grid(True)
plt.show()

[Paul3784]

En fait voici mon raisonnement :

Si on pose $\alpha$ l'angle $\widehat{BAC}$, l'aire du secteur angulaire est bien $\alpha/2$ ( grâce à la proportionnalité).
L'aire du triangle ABC est $\cos(\alpha/2) \sin(\alpha/2)$ (en utilisant la formule base x hauteur / 2). La hauteur s'obtient avec le cosinus et la demi-base avec le sinus). Donc la partie hachurée est égale à $\alpha/2-\cos(\alpha/2) \sin(\alpha/2)$.

Si on veut que les deux parties soient égales, on arrive à l'équation : $\alpha/2-\cos(\alpha/2) \sin(\alpha/2) = \cos(\alpha/2) \sin(\alpha/2)$ donc $\alpha/2 = 2 \cos(\alpha/2) \sin(\alpha/2)$. A ce stade on utilise $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ (formule de trigonométrie).

On obtient alors $\alpha/2 = \sin(\alpha)$ et donc à résoudre $\alpha/2-\sin(\alpha) = 0$ sur l'intervalle $[0;\pi]$.

On pose la fonction $f(x) = x/2-\sin(x)$.
On procède à la dérivation et à l'étude de la monotonie sur l'intervalle.
Si les conditions sont réunies, on peut donc appliquer la propriété de la bijection pour affirmer qu'il n' y a qu'une seule solution à cette équation.
Je crois que dans mon programme j'aurai dû étudier la fonction $x-\sin(2x)$.

[MB]

Merci, ça semble correct.
Voici quelques vérifications à l'aide de sagemath.

• Courbes des fonctions $x \mapsto \sin(x)/x$ et $x \mapsto 1/2$ sur l'intervalle $[0,\pi]$.
  plot([sin(x)/x, 1/2], (x, 0, pi))
• Résolution numérique de l'équation $\sin(x)/x = 1/2$ pour $x \in [0,\pi]$.
  find_root(sin(x)/x == 1/2, 0, pi)

On doit donc obtenir $\alpha \in ]1,895 ; 1,896[$.

[Paul3784]

Ah super merci pour votre aide, je ne connaissais pas sagemath.

Je suis passer par geogebra aussi, j'ai trouvé un point d'intersection je pense qu'on a trouvé la même chose : $A(1.9; 0.95)$. au dixième près et $A(1.895; 0.947)$ au millième près car on nous demande une précision à $10^{-3}$. je crois que c'est l'unique valeur si j'ai bien interprété les choses.

On dirait que ce site met directement des formules en Latex c'est intéressant !

[MB]

On dirait que ce site met directement des formules en Latex c'est intéressant !

Non, c'est malheureusement juste moi qui édite les messages ...