Sous groupe distingué et groupe

[Kazik]

Bonsoir,

j'ai beaucoup de difficulté sur cette exercice :

Soit $(G,.)$ un groupe.
$g_1,\,g_2\in G$
$[g_1,g_2]=g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}\in G$ (commutateur de $g_1,\,g_2$)

on pose $D(G)=${groupe commutateur engendré par l'ensemble des commutateurs}

1)Montrer que $D(G)$ est un sous groupe distingué de $(G,.)$
2)Montrer que $(\frac{G}{D(G)},.)$ est abélien

pouvez vous m'aidez ?
pour le sous groupe distingué je pensé à un Noyau d'un Morphisme de groupe ?

[Arnaud]

Il faut montrer que $D(G)$ est stable par conjugaison dane $G$, c'est-à-dire que pour tout $d \in D(G)$ et pour tout $g \in G$, $g^{-1}dg \in D(G)$.

[Kazik]

Ok!
Mais je comprend pas comment est définit $D(G)$,
est-ce que $d=g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$ ?

[Arnaud]

Oui.
Enfin pour dire les choses correctement, il existe $g_1$ et $g_2$ pour que $d$ s'écrive sous cette forme.

[Tryphon]

Euh je ne crois pas, ou du moins il me semble que ce n'est pas si simple.

$d \in D(G)$ ssi il existe $d_1$, ..., $d_n$ tels que $d=d_1^{\epsilon_1}d_2^{\epsilon_2}\ldots d_n^{\epsilon_n}$ où chaque $d_i$ est de la forme que tu dis (il existe $g_i$ et $h_i$ tels que $d_i = [g_i,h_i]$) et $\epsilon_i\in\{-1;1\}$

Alors après, on peut démontrer que $([g_1,g_2])^{-1}$ est de la forme $[g'_1,g'_2]$ (ça m'a l'air simple) et que $[g_1,g_2][g_3,g_4]$ est de la forme $[h,h']$ avec $h$ et $h'$ bien choisis (je suis moins sûr pour celui-là, même si j'y crois).

Et là, on en conclut ta caractérisaton, Arnaud. Mais ce n'est pas immédiat.

Maintenant, c'est assez vieux pour moi tout ça, je dis peut-être dis counneries...

[Kazik]

Ok!
Mais je comprend pas comment est définit $D(G)$,
est-ce que $d=g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$ ?

donc $g^{-1}dg=g^{-1}g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}$ et ensuite ?
Tryphon j'ai pas tout suivi la!!

[Arnaud]

Oui tu as tout à fait raison Tryphon.
La première chose à montrer est que c'est bien un sous-groupe.
J'ai complètement zappé l'étape car je le supposais connu.

Ensuite, ce que j'aurais dû préciser, c'est que si on montre la propriété sur les générateurs, elle sera vraie pour le groupe ( pourquoi ? ), donc $d$ doit être un commutateur.

Bref je crois bien que c'est l'heure de me coucher....

[guiguiche]

on pose $D(G)=${groupe commutateur engendré par l'ensemble des commutateurs}

Ce que veut dire Tryphon est qu'il faut considérer l'ensemble de tous les commutateurs de la forme $[g_1,g_2]$ puis que $D(G)$ est le groupe engendré par cet ensemble, c'est à dire un produit de certains commutateurs et/ou de leurs inverses.
Il est possible, mais c'est encore plus loin pour moi que pour Tryphon, que ce groupe soit en fait égal à l'ensemble de commutateurs mais il faut le prouver selon la méthode suggérée par Tryphon.

[bibi6]

Bonjour,

+1 pour guiguiche: $D(G)$ doit être défini comme le sous-groupe engendré par les commutateurs. (comme l'a indiqué Kazik dans son énoncé...)

Par contre, je ne suis pas sûr que le produit de commutateurs est encore un commutateur. On m'a toujours dit "faire gaffe" donc je fais attention.
-C'est Ok pour les inverses, $[g_1, g_2]^{-1} = [g_2, g_1]$ (voir les définitions!)
-Le produit... $[g_1, g_2][h_1, h_2] = g_1 g_2 g_1^{-1}g_2^{-1}h_1h_2h_1^{-1}h_2^{-1}$, je me demande comment on va pouvoir sortir "un commutateur commun"...

Mais avec la remarque d'Arnaud on va pouvoir montrer facilement que $D(G)$ est un sous-groupe normal.

@Kazik: prouve que tout conjugué d'un commutateur est dans $D(G)$ (peut-être un commutateur?) (attention dans ce que tu as écrit, il manque un $g$ dans le développement final...)
Puis fais le lien avec la remarque d'Arnaud et l'écriture de $d$ "à la Tryphon".

(c'est vrai que pour montrer déjà le résultat sur un commutateur, c'est pas si trivial qu'on ne le croit!)

[V_Douce LeMathoscope]

Bonjour j'ai bien lu vos échanges et j'ai fait une vidéo où je parle à la fin du groupe dérivé.