La continuité d'une fonction

Discussions générales concernant les mathématiques et n'entrant pas dans les catégories suivantes.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
adem19s
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 165
Inscription : mercredi 22 mai 2013, 19:59

La continuité d'une fonction

Message non lu par adem19s »

Salut tout le monde.

« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. »

Je me demande si ce texte est une interprétation graphique ou géométrique de la continuité d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ où une définition graphique de la continuité de la fonction $f$ sur $I$.
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8206
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: La continuité d'une fonction

Message non lu par guiguiche »

Je pense que ça a longtemps été la définition avant que le formalisme ne la change en la version actuelle.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
adem19s
Utilisateur éprouvé
Utilisateur éprouvé
Messages : 165
Inscription : mercredi 22 mai 2013, 19:59

Re: La continuité d'une fonction

Message non lu par adem19s »

guiguiche a écrit : dimanche 06 octobre 2024, 10:53 Je pense que ça a longtemps été la définition avant que le formalisme ne la change en la version actuelle.
Une définition même ancienne, ne peut pas être une interprétation géométrique de la continuité sur un intervalle $I$ n'est ce pas?
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8206
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans

Re: La continuité d'une fonction

Message non lu par guiguiche »

Sans le langage des limites, quelle serait la définition de la continuité ? (et sans paraphraser la définition actuelle)
Je pense que c'était une définition "empirique" jusqu'à ce qu'on fasse mieux (j'ai dû lire un truc sur ça un jour mais je ne me souviens plus où ni quoi précisément donc ma réponse est à prendre avec des pincettes).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Papillon23Noir
Utilisateur débutant
Utilisateur débutant
Messages : 1
Inscription : jeudi 03 octobre 2024, 19:29
Statut actuel : Collégien

Re: La continuité d'une fonction

Message non lu par Papillon23Noir »

Je pense aussi que ce que tu dis, c'est-à-dire dessiner la fonction sans lever le crayon, est une interprétation graphique intuitive de la continuité. Cependant, il faut se rappeler que ce n’est qu'une approximation et une interprétation non formelle. En mathématiques, la définition de la continuité est un peu plus technique. On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle I si, en chaque point de cet intervalle, la limite de la fonction en ce point existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.

En gros : ton approche graphique est utile pour une compréhension intuitive, mais elle ne montre pas toujours toute la subtilité mathématique derrière. Pour les fonctions « belles » (lisses, sans sauts ou trous), dessiner sans lever le crayon représente bien la continuité. Mais il peut y avoir des fonctions qui semblent « étranges » et qui pourtant sont continues d'après la définition formelle.

Par exemple, la fonction f(x)=sin⁡(1∕x)/x près de zéro a un comportement très complexe, mais elle est continue en tout point sauf en zéro.

Aussi, il faut mentionner la continuité unilatérale. Lorsqu'on regarde un point au bord d’un intervalle, comme à l'extrémité gauche ou droite, il est important de vérifier la continuité d'un seul côté. C'est une partie importante de la définition formelle, et l’intuition graphique peut parfois l'ignorer.

J'espère que ça clarifie un peu le sujet ! Dessiner des fonctions, c'est super, mais pour avoir une vision complète, il faut aussi s’appuyer sur la définition précise... :think: