Les équations équivalentes

[adem19s]

Salut tout le monde.
Les deux équations suivantes sont équivalents:

$2x-1=0$ et $2x+2=3$

Même chose pour les deux équations suivantes:

$2+\ln x=0 $ et $\ln x=-2$

Ma question est: Est ce que les deux équations suivantes sont équivalentes ?

$(-1+\ln x )^2=0 $ et $-1+\ln x=0$

[MB]

Bonjour, est-ce que $x^2 = 0 \iff x = 0$ ?

[adem19s]

L'équation $x^2=0$ a une solution double $0$ dans $\mathbb{R}$ alors que $x=0$ possède une solution unique $0$ dans $\mathbb{R}$ donc elles ne sont pas équivalentes. Mais les deux équations ont le même ensemble de solutions : $S = \left\{ 0\right\}$.

[MB]

Quelle est ta définition de l'équivalence entre deux équations ?

[projetmbc]

Que signifie aussi l'expression "solution double" ?

[adem19s]

Que signifie aussi l'expression "solution double" ?

L'équation $x^2=0 $ est une équation du second degré $x^2=0 \iff x=0$ ou $x=0$.
Alors l'équation admet deux solutions identiques ou une solution double. La solution $0$ est répétée deux fois.

[projetmbc]

Ma question était rhétorique. Votre réponse devrait vous aider à y voir plus clair.

[adem19s]

Quelle est ta définition de l'équivalence entre deux équations ?

Deux équations sont équivalentes si et seulement si elles ont le même ensemble de solutions.

[MB]

Du coup, est-ce que les équations $x^2=0$ et $x=0$ ont le même ensemble de solution ?

[adem19s]

Du coup, est-ce que les équations $x^2=0$ et $x=0$ ont le même ensemble de solution ?

Oui le même ensemble de solutions c'est bien $S=\{0\}$.

Graphiquement :

• pour l'équation $x=0$, la solution c'est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des ordonnés avec l'axe des abscisses.
• pour l'équation $x^2=0$, la solution c'est l'abscisse du point $O(0;0)$ c'est là où l'axe des abscisses est tangent à la courbe $y=x^2$.

Ce n'est pas la même situation.

[MB]

Ce n'est effectivement pas exactement la même situation, mais il faut s'en tenir à la définition.

[adem19s]

Ce n'est effectivement pas exactement la même situation, mais il faut s'en tenir à la définition.

Le nombre de solution n'influe pas sur l'équivalence de deux équations.
Deux équations sont équivalentes si et seulement si ,elles ont le même ensemble de solutions.

L'équation: $x(e^{x}-1)\ln(x+1)=0$ est équivalente à l'équation $x=0$ car elles ont le même ensemble de solutions, malgré le fait que la première équation a trois solutions identiques et la deuxième a une solution unique.

mathematex.png (8.26 Kio) Consulté 970 fois

[MB]

On a effectivement $\{0;0;0\} = \{0\}$.

[adem19s]

On a effectivement $\{0;0;0\} = \{0\}$.

On conclue que les deux équations: $(-1+\ln x)^2=0$ et $-1+\ln x=0 $ sont équivalentes malgré que la première a deux solutions identiques et la deuxième une solution unique et leurs ensemble de solutions c'est: $S=\left\{0 \right\}$.

[MB]

Il ne me semble pas nécessaire de multiplier les exemples: la définition a été rappelée, il suffit de l'appliquer.