Les équations équivalentes

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adem19s
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Les équations équivalentes

Message non lu par adem19s »

Salut tout le monde.
Les deux équations suivantes sont équivalents:
$2x-1=0$ et $2x+2=3$
Même chose pour les deux équations suivantes:
$2+\ln x=0 $ et $\ln x=-2$
Ma question est: Est ce que les deux équations suivantes sont équivalentes ?
$(-1+\ln x )^2=0 $ et $-1+\ln x=0$
MB
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par MB »

Bonjour, est-ce que $x^2 = 0 \iff x = 0$ ?
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adem19s
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par adem19s »

L'équation $x^2=0$ a une solution double $0$ dans $\mathbb{R}$ alors que $x=0$ possède une solution unique $0$ dans $\mathbb{R}$ donc elles ne sont pas équivalentes. Mais les deux équations ont le même ensemble de solutions : $S = \left\{ 0\right\}$.
MB
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par MB »

Quelle est ta définition de l'équivalence entre deux équations ?
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projetmbc
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par projetmbc »

Que signifie aussi l'expression "solution double" ?
adem19s
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par adem19s »

projetmbc a écrit : mercredi 13 novembre 2024, 15:08 Que signifie aussi l'expression "solution double" ?
L'équation $x^2=0 $ est une équation du second degré $x^2=0 \iff x=0$ ou $x=0$.
Alors l'équation admet deux solutions identiques ou une solution double. La solution $0$ est répétée deux fois.
projetmbc
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par projetmbc »

Ma question était rhétorique. :D Votre réponse devrait vous aider à y voir plus clair.
adem19s
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par adem19s »

MB a écrit : mercredi 13 novembre 2024, 13:29 Quelle est ta définition de l'équivalence entre deux équations ?
Deux équations sont équivalentes si et seulement si elles ont le même ensemble de solutions.
MB
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par MB »

Du coup, est-ce que les équations $x^2=0$ et $x=0$ ont le même ensemble de solution ?
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adem19s
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par adem19s »

MB a écrit : samedi 16 novembre 2024, 11:36 Du coup, est-ce que les équations $x^2=0$ et $x=0$ ont le même ensemble de solution ?
Oui le même ensemble de solutions c'est bien $S=\{0\}$.

Graphiquement :
  • pour l'équation $x=0$, la solution c'est l'abscisse du point d'intersection de l'axe des ordonnés avec l'axe des abscisses.
  • pour l'équation $x^2=0$, la solution c'est l'abscisse du point $O(0;0)$ c'est là où l'axe des abscisses est tangent à la courbe $y=x^2$.
Ce n'est pas la même situation.
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par MB »

Ce n'est effectivement pas exactement la même situation, mais il faut s'en tenir à la définition.
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par adem19s »

MB a écrit : dimanche 17 novembre 2024, 08:30 Ce n'est effectivement pas exactement la même situation, mais il faut s'en tenir à la définition.
Le nombre de solution n'influe pas sur l'équivalence de deux équations.
Deux équations sont équivalentes si et seulement si ,elles ont le même ensemble de solutions.

L'équation: $x(e^{x}-1)\ln(x+1)=0$ est équivalente à l'équation $x=0$ car elles ont le même ensemble de solutions, malgré le fait que la première équation a trois solutions identiques et la deuxième a une solution unique.
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par MB »

On a effectivement $\{0;0;0\} = \{0\}$.
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par adem19s »

MB a écrit : lundi 18 novembre 2024, 07:37 On a effectivement $\{0;0;0\} = \{0\}$.
On conclue que les deux équations: $(-1+\ln x)^2=0$ et $-1+\ln x=0 $ sont équivalentes malgré que la première a deux solutions identiques et la deuxième une solution unique et leurs ensemble de solutions c'est: $S=\left\{0 \right\}$.
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Re: Les équations équivalentes

Message non lu par MB »

Il ne me semble pas nécessaire de multiplier les exemples: la définition a été rappelée, il suffit de l'appliquer.
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