Conjectures sur les nombres premiers

[emphyrio]

Bonjour à tous,

Je propose trois conjectures sur les nombres premiers à l'examen des membres.

Soit $p_n$ et $p_{n+1}$ deux nombres premiers de rang $n$ et $n+1$ avec $n > 0$.

• $p_{n+1} < p_n(1+ 3/n)$
• $p_{n+1} < p_n^{1+1/\ln(p_n)}$ c'est à dire : $p_{n+1} / p_{n} < p_n^{1/\ln(p_n)}$
• $p_{n+1} < p_n^{1+1/p_n}$ c'est à dire $p_{n+1} / p_{n} < p_n^{1/p_n}$ avec la condition supplémentaire $p_n > 101$ pour celle-ci.

Est-il notamment possible de trouver un contre exemple pour au moins l'une de ces trois conjectures ?
D'avance merci.

[guiguiche]

Je crois que tu as eu assez de réponses sur les-mathematiques.net depuis 3 semaines.

[emphyrio]

Ce n'est pas le même sujet ni le même site et la conjecture en lien est bien différente. S'il y avait eu des réponses concernant les conjectures proposées je le saurais. Voici néanmoins le lien qui concerne la troisième conjecture sur le site les-mathematiques.net.

https://les-mathematiques.net/vanilla/d ... pn-1-et-pn

[MB]

Bonjour, pouvez-vous me confirmer qu'avec vos notation, on a $p_1=2$ ?

Dans ce cas, il me semble que $p_{30}=113$ et $p_{31}=127$ et donc que $\frac{127}{130} > 1+\frac{3}{30} = \frac{11}{10}$.

[emphyrio]

Bonjour, effectivement, il y a bien un problème avec 113 et 127 car 127/113 > 1 + 3/30 un grand merci à vous la valeur 3 ne convient pas le minimum nécessaire doit plutôt tendre vers 4.

C'est un résultat important qui doit provenir de la démonstration elle même et/ou du $p_k$ à 101. Peut-être que cela s'arrange ensuite en tout cas merci pour cette conjecture là.

Pourriez-vous explorer les deux autres conjectures svp ?

[emphyrio]

A nouveau merci dans ma démonstration, j'ai fait appel à une primitive pour calculer Cmin = e or une primitive est toujours définie à une constante près. Inconsciemment, j'ai choisi zéro mais l'anomalie détectée permet de voir que le bon choix c'est 1 ainsi la limite c'est 1+e. Cette fois on bien 127/113 < 1 + (1+e)/30.

[emphyrio]

Bonjour à tous,

Sauf erreur, il me semble que si l'une des 3 conjectures est vraie alors toute une série de conjectures plus faibles sont prouvées notamment les conjectures de Legendre, d'Opperman et d'Andrica entres autres.

Les trois conjectures sont mentionnées par ordre de force. Une démonstration simple pour la troisième est proposée sur le site les-mathematiques.net via le lien indiqué ci-dessus.

J'ai une démonstration qui est à mon sens bien plus solide pour la deuxième conjecture et la première trouvée presque par hasard en résulte.

Ps : Cette seconde démonstration démarre avec l'hypothèse suivante : $p_{n+1} - p_n < n \ln(p_n)$ avec $n$ qui tend vers l'infini quand $p_n$ tend vers l'infini et qui s'inspire beaucoup de celle proposée pour la troisième conjectures via le lien précédemment mentionné. On remarquera que la démonstration pour la conjecture 3 devient alors un cas particulier où $n = 1$ quelque soit $p_n$ d'où le fait que la conjecture semble devenir vraie seulement à partir de $p_k= 101$. Si on introduit une sorte de $n_{\text{moy}}$ de l'ordre de 3 ou 4 on constate alors que tous les $p_n$ peuvent être pris en compte et une quatrième conjecture peut s'écrire ainsi $p_{n+1}/p_n < p_n^{n_{\text{moy}}/p_n}$ avec $n > 0$ et $3 < n_{\text{moy}} < 4$ possiblement $n_{\text{moy}} = 1 + e$.