Dérivation, parabole et normale
Dérivation, parabole et normale
Bonjour à tous!
Soit une fonction $h(x)=x²-4x+5$
$M$ désignant un point de la courbe représentative $H$ d'une fonction dérivable $h$, on appelle normale à $H$ en $M$ la droite passant par $M$ et perpendiculaire à la tangente à $H$ au point $M$.
Montrer qu'il existe un unique point de $H$ en lequel la normale passe par $O$ (origine du repère): donner une valeur approchée de l'abscisse de ce point.
J'ai essayé d'utiliser la relation: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coef directeur = -1
$h'(x)=2x-4$
donc coef dir de la tangente en $m$ = $2m-4$
coef directeur de la normale = $\dfrac{y_m-y_0}{x_m-x_0} = \dfrac{m²-4m+5}{m}$
Mais après l'équation $\dfrac{m²-4m+5}{m}(2m-4)=-1$ ne me donne pas de résultats concluants
Merci de m'aider!
[Edit Arnaud : LaTeX, merci de faire un effort pour la lisibilité]
Soit une fonction $h(x)=x²-4x+5$
$M$ désignant un point de la courbe représentative $H$ d'une fonction dérivable $h$, on appelle normale à $H$ en $M$ la droite passant par $M$ et perpendiculaire à la tangente à $H$ au point $M$.
Montrer qu'il existe un unique point de $H$ en lequel la normale passe par $O$ (origine du repère): donner une valeur approchée de l'abscisse de ce point.
J'ai essayé d'utiliser la relation: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coef directeur = -1
$h'(x)=2x-4$
donc coef dir de la tangente en $m$ = $2m-4$
coef directeur de la normale = $\dfrac{y_m-y_0}{x_m-x_0} = \dfrac{m²-4m+5}{m}$
Mais après l'équation $\dfrac{m²-4m+5}{m}(2m-4)=-1$ ne me donne pas de résultats concluants
Merci de m'aider!
[Edit Arnaud : LaTeX, merci de faire un effort pour la lisibilité]
Re: dérivation, parabole et normale
Correct...farator a écrit :J'ai essayé d'utiliser la relation: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coef directeur = -1
h'(x)=2x-4
donc coef dir de la tangente en m = 2m-4
ca s'est le coeff directeur de la droite $(OM)$ et non la normale...farator a écrit :coef directeur de la normale = (ym-y0)/(xm-x0) = (m²-4m+5)/m
Utilise le fait que le produit des coefficients directeur est égal à $-1$ comme tu l'as dit...
la normale est la droite (OM)
Je ne comprends pas car la normale à la tangente en M est perpendiculaire à cette tangente et passe par M...
Ainsi (OM) = normale
Ainsi (OM) = normale
Tu vas trop vite...
Tout d'abord, tu cherches une équation de ta normale grâce au coefficient directeur, et seulement ensuite, tu écriras qu'elle doit passer par le point origine $O$.... Car le but, c'est de déterminer combien il existe de point sur la parabole dont la normale passe par l'origine...
Pigé
Tout d'abord, tu cherches une équation de ta normale grâce au coefficient directeur, et seulement ensuite, tu écriras qu'elle doit passer par le point origine $O$.... Car le but, c'est de déterminer combien il existe de point sur la parabole dont la normale passe par l'origine...
Pigé
ok compris, mais apres???
Tm a pour coef dir 2m-4
Nm a pour coef dir -1/(2m-4)=> y=-x/(2m-4)+b
m²-4m+5 = -m/(2m-4)+b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = 0
m²-4m+5+(m/(2m-4) = 0
(((m²-4m+5)(2m-4))/2m-4)+((m(2m-4))/(2m-4)=0
On résout ensuite (m²-4m+5)(2m-4)+(2m-4)m=0
2m^3-4m²-8m²+16m+10m-20+2m²-4m = 0
2m^3-10m²+23m-20 = 0
Et comment on fait pour résoudre ça???
Nm a pour coef dir -1/(2m-4)=> y=-x/(2m-4)+b
m²-4m+5 = -m/(2m-4)+b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = 0
m²-4m+5+(m/(2m-4) = 0
(((m²-4m+5)(2m-4))/2m-4)+((m(2m-4))/(2m-4)=0
On résout ensuite (m²-4m+5)(2m-4)+(2m-4)m=0
2m^3-4m²-8m²+16m+10m-20+2m²-4m = 0
2m^3-10m²+23m-20 = 0
Et comment on fait pour résoudre ça???
Re: ok compris, mais apres???
jusque là , correct...;farator a écrit :Tm a pour coef dir 2m-4
Nm a pour coef dir -1/(2m-4)=> y=-x/(2m-4)+b
m²-4m+5 = -m/(2m-4)+b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = b
m²-4m+5-(-m/(2m-4)) = 0
m²-4m+5+(m/(2m-4) = 0
là problème...farator a écrit :(((m²-4m+5)(2m-4))/2m-4)+((m(2m-4))/(2m-4)=0
En code Latex $\dfrac{(m^2-4m+5)(2m-4)}{2m-4}+\dfrac{m}{2m-4}=0$... Je ne sais ce que tu as fait quand tu as réduis au même dénominateur...
Ensuite, tu développes et réduis comme t'avais fait précédemment, et tu vas bien obtenir une équation de degré 3.... On te demande une valeur approchée et donc tu dois avoir une calculatrice que tu devrais savoir utiliser...
Oui je me suis trompé
Cela donne finalement
2m^3-12m²+27m-20 = 0
Et je ne vois pas comment on peut résoudre cette équation de degré3.
Ma calculette est une viellie casion 25 et n'a même pas de résolution d'équation (sauf du 2nd degré que j'ai fabriqué)
2m^3-12m²+27m-20 = 0
Et je ne vois pas comment on peut résoudre cette équation de degré3.
Ma calculette est une viellie casion 25 et n'a même pas de résolution d'équation (sauf du 2nd degré que j'ai fabriqué)
-
- Sujets similaires
- Réponses
- Vues
- Dernier message
-
- 3 Réponses
- 1824 Vues
-
Dernier message par JCL