Exponentielle d'une matrice
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Exponentielle d'une matrice
Bonjour,
Connaitriez-vous un logiciel (libre) me permettant de calculer l'exponentielle d'une matrice ? (En formel ou en numérique, peut d'importance, c'est juste pour vérifier un calcul)
Merci d'avance.
PS : Si ça existe en page web, c'est encore mieux !
Connaitriez-vous un logiciel (libre) me permettant de calculer l'exponentielle d'une matrice ? (En formel ou en numérique, peut d'importance, c'est juste pour vérifier un calcul)
Merci d'avance.
PS : Si ça existe en page web, c'est encore mieux !
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Euh... Est-ce que je pourrais abuser de ton temps et te demander de me calculer l'exponentielle de la matrice :
$$\left(\begin{array}{ccc}
5 & 0 & 3\\
-6 & -1 & -3\\
-6 & 0 &-4\end{array}\right) \quad \text{?}$$
Idéalement de celle-ci en fait : $$\left(\begin{array}{ccc}
5s & 0 & 3s\\
-6s & -s & -3s\\
-6s & 0 &-4s\end{array}\right)$$
[EDIT]Il y avait un coefficient erroné : 3 -> -3 à la fin de la deuxième ligne
$$\left(\begin{array}{ccc}
5 & 0 & 3\\
-6 & -1 & -3\\
-6 & 0 &-4\end{array}\right) \quad \text{?}$$
Idéalement de celle-ci en fait : $$\left(\begin{array}{ccc}
5s & 0 & 3s\\
-6s & -s & -3s\\
-6s & 0 &-4s\end{array}\right)$$
[EDIT]Il y avait un coefficient erroné : 3 -> -3 à la fin de la deuxième ligne
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Je confirme les résultats précédents (TI 89) : ce sont des résultats approchés...
sinon tu peux chercher les valeurs propres de ta matrice : -1 à l'ordre 2 et 2 et ensuite tu vérifies que le sous espace propre associé à la valeur propre 2 est un plan, donc ta matrice est diagonalisable : tu as aussi ta matrice de passage $P$ et donc $D=P^{-1}AP$ et alors ensuite ton exponentielle de matrice....
sous espace propre associé à 2 : $(1,-1,-1)$
sev pour $-1$ plan équation $2x+z=0$ d'où $(1,0,-2)$ et $(1,-1,-2)$
Matrice de passage P
$$\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
-1&0&-1\\
-1&-2&-2
\end{array}\right)$$
Matrice diagonale $D$
$$\left(\begin{array}{ccc}
2&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&-1
\end{array}\right)$$
Or $D=P^{-1}AP$ et
$$e^D=\left(\begin{array}{ccc}
e^2&0&0\\
0&e^{-1}&0\\
0&0&e^{-1}
\end{array}\right)$$
donc $e^A=Pe^DP^{-1}$ c'est à dire
$$e^A=\left(\begin{array}{ccc}
2e^2-e^{-1} & 0 & e^{2}-e^{-1}\\
2e^{-1}-2e^2& e^{-1} &e^{-1}-e^2\\
2e^{-1}-2e^2& 0 &2e^{-1}-e^2
\end{array}\right)$$
sinon tu peux chercher les valeurs propres de ta matrice : -1 à l'ordre 2 et 2 et ensuite tu vérifies que le sous espace propre associé à la valeur propre 2 est un plan, donc ta matrice est diagonalisable : tu as aussi ta matrice de passage $P$ et donc $D=P^{-1}AP$ et alors ensuite ton exponentielle de matrice....
sous espace propre associé à 2 : $(1,-1,-1)$
sev pour $-1$ plan équation $2x+z=0$ d'où $(1,0,-2)$ et $(1,-1,-2)$
Matrice de passage P
$$\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
-1&0&-1\\
-1&-2&-2
\end{array}\right)$$
Matrice diagonale $D$
$$\left(\begin{array}{ccc}
2&0&0\\
0&-1&0\\
0&0&-1
\end{array}\right)$$
Or $D=P^{-1}AP$ et
$$e^D=\left(\begin{array}{ccc}
e^2&0&0\\
0&e^{-1}&0\\
0&0&e^{-1}
\end{array}\right)$$
donc $e^A=Pe^DP^{-1}$ c'est à dire
$$e^A=\left(\begin{array}{ccc}
2e^2-e^{-1} & 0 & e^{2}-e^{-1}\\
2e^{-1}-2e^2& e^{-1} &e^{-1}-e^2\\
2e^{-1}-2e^2& 0 &2e^{-1}-e^2
\end{array}\right)$$
oui, avec maple je trouve la même chose, à savoir (avec les s) :
$$ \left( \begin {array}{ccc} -{e^{-s}}+2\,{e^{2\,s}}&0&{e^{2\,s}}-{e^{-
s}}\\\noalign{\medskip}-2\,{e^{2\,s}}+2\,{e^{-s}}&{e^{-s}}&-{e^{2\,s}}
+{e^{-s}}\\\noalign{\medskip}-2\,{e^{2\,s}}+2\,{e^{-s}}&0&2\,{e^{-s}}-
{e^{2\,s}}\end {array} \right) $$
(c'est génial, maple sait convertir en tex : même pas besoin de tout retaper !)
$$ \left( \begin {array}{ccc} -{e^{-s}}+2\,{e^{2\,s}}&0&{e^{2\,s}}-{e^{-
s}}\\\noalign{\medskip}-2\,{e^{2\,s}}+2\,{e^{-s}}&{e^{-s}}&-{e^{2\,s}}
+{e^{-s}}\\\noalign{\medskip}-2\,{e^{2\,s}}+2\,{e^{-s}}&0&2\,{e^{-s}}-
{e^{2\,s}}\end {array} \right) $$
(c'est génial, maple sait convertir en tex : même pas besoin de tout retaper !)
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Oui, c'est un peu bizarre. C'est la version 0.7.1 de wxMaxima.kilébo a écrit :Je viens d'installer maxima et c'est en espagnol quelque soit le langage sélectionné au départ (français ou anglais). Ne maitrisant pas l'espagnol, je l'ai désinstallé...
Par contre, en allant dans Editar > Configurar puis en sélectionnant Inglês dans Idioma, alors tu peux avoir l'interface en anglais. (il faut relancer)
En ce qui concerne le français ... ça ne semble pas fonctionner.
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Bon et pour information. Voici comment faire avec Maxima.
La fonction "Copy Tex" permet de copier le résultat directement au format TeX.
Ce qui donne :
Il faut modifier un peu pour avoir du LaTeX par contre ...
Ce qui donne :
$$\begin{pmatrix}
{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-1\right) & 0 & {e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \\
-{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & {e}^{-s} & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \\
-{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & 0 & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-2\right)
\end{pmatrix}$$
Code : Tout sélectionner
M: matrix ([5*s, 0, 3*s], [-6*s, -s, -3*s], [-6*s, 0, -4*s]);
load(linearalgebra)$
matrixexp(M);
Ce qui donne :
Code : Tout sélectionner
$$\pmatrix{{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-1\right) & 0 & {e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \cr -{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & {e}^{-s} & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \cr -{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & 0 & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-2\right) }$$
Code : Tout sélectionner
$$\begin{pmatrix}
{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-1\right) & 0 & {e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \\
-{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & {e}^{-s} & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \\
-{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & 0 & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-2\right)
\end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix}
{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-1\right) & 0 & {e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \\
-{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & {e}^{-s} & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-1\right) \\
-{e}^{-s}\,\left( 2\,{e}^{3\,s}-2\right) & 0 & -{e}^{-s}\,\left( {e}^{3\,s}-2\right)
\end{pmatrix}$$
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De rien. Et pour retrouver la forme donnée par Maple :
Voilà une méthode utilisant un logiciel libre.
Code : Tout sélectionner
expand(matrixexp(M));
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