Norme au carré
Re: Norme au carré
$$
|||f+g|||^2 &=& \|f+g\|^2+ \sum (2^{-i}(f+g)^2(x_i)) \\
\\
&=& \|f\|^2+\|g\|^2+2\|f\|\|g\| + \sum(2^{-i}f^2(x_i))+\sum(2^{-i}g^2(x_i))+\sum(2^{-i}2f(x_i)g(x_i))\\
\\ &=& |||f|||^2+|||g|||^2+2. \bigg( \|f\|\|g\| +\sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i) \big) \bigg)
$$
reste à montrer que
$$\|f\|\|g\| +\sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq |||f|||. |||g||| $$
Bonne année à tous! :xmas:
|||f+g|||^2 &=& \|f+g\|^2+ \sum (2^{-i}(f+g)^2(x_i)) \\
\\
&=& \|f\|^2+\|g\|^2+2\|f\|\|g\| + \sum(2^{-i}f^2(x_i))+\sum(2^{-i}g^2(x_i))+\sum(2^{-i}2f(x_i)g(x_i))\\
\\ &=& |||f|||^2+|||g|||^2+2. \bigg( \|f\|\|g\| +\sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i) \big) \bigg)
$$
reste à montrer que
$$\|f\|\|g\| +\sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq |||f|||. |||g||| $$
Bonne année à tous! :xmas:
c'est: $$|||f|||.|||g||| &=& \sqrt{\|f\|^2+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)}. \sqrt{\|g\|^2+\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}\\
&=& \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$
On doit donc montrer :
$$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$
&=& \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$
On doit donc montrer :
$$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$
$$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq \sqrt { \bigg( \|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \bigg)^2}$$
(égalité si le membre de gauche est positif)
$$\sqrt { \bigg( \|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \bigg)^2} = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$?\leq? ?=?\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$ça ressemble mais c'est pas la même chose?
(égalité si le membre de gauche est positif)
$$\sqrt { \bigg( \|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \bigg)^2} = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$?\leq? ?=?\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$ça ressemble mais c'est pas la même chose?
J'ai fait ça je ne sais pas si ça peu m'aider :
$$\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$ = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$= \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$\leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\|f\|\sum\big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)\bigg(\|g\|\sum\big(2^{-i}f(x_i)\big)\bigg)}$$
$$\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$ = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$= \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$\leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\|f\|\sum\big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)\bigg(\|g\|\sum\big(2^{-i}f(x_i)\big)\bigg)}$$
Tu dis ceci pour :$$ = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
?
J'ai juste majorer $g(x_i)$ par $\|g\|$. Puisque $g(x_i)$ $\leq$ $\|g\|$ $\|x_i\|$ et $\|x_i\|$ =1. Je ne peux pas?
$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$
?
J'ai juste majorer $g(x_i)$ par $\|g\|$. Puisque $g(x_i)$ $\leq$ $\|g\|$ $\|x_i\|$ et $\|x_i\|$ =1. Je ne peux pas?
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Bon j'ai dû tout réécrire, car je me perdais dans les notations.
Démontrer l'inégalité triangulaire revient donc à démontrer ( si je ne me suis pas trompé ) :
$$\|f\|\|g\|+\sum\dfrac{f(x_i)g(x_i)}{2^{i}} \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}+\|g\|^2\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}+\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}.\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}}$$
Les deux termes sont clairement majorés par $3||f|| \times ||g||$, mais je n'arrive pas à trouver de majoration plus fine pour le terme de gauche.
Là je n'ai pas d'idée supplémentaire à apporter, peut-être qu'à tête reposée... :?
Démontrer l'inégalité triangulaire revient donc à démontrer ( si je ne me suis pas trompé ) :
$$\|f\|\|g\|+\sum\dfrac{f(x_i)g(x_i)}{2^{i}} \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}+\|g\|^2\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}+\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}.\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}}$$
Les deux termes sont clairement majorés par $3||f|| \times ||g||$, mais je n'arrive pas à trouver de majoration plus fine pour le terme de gauche.
Là je n'ai pas d'idée supplémentaire à apporter, peut-être qu'à tête reposée... :?
Dernière modification par Arnaud le mercredi 03 janvier 2007, 20:23, modifié 1 fois.
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Vu comme ça, ça me fait penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Peut-être que je me plante, mais ça y ressemble furieusement! (encore faut-il quelat_ex a écrit :c'est ça?
$$ \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) ? \leq ? \sqrt{\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}} $$
je ne vois pas ...
$$(.|.): X'^2 \rightarrow \R ; (f,g) \rightarrow (f|g) := \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)$$
soit un produit scalaire!)
@Arnaud: petit croisement de messages, tu t'es planté dans la somme: c'est pas des $2^{-i}$ aux dénos mais des $2^i$.
Mais moi je maintiens que ça sent le Cauchy-Schwarz.
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