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bon c'est pas grave laissons tomber pour le dessin.
(la description c'était une figure bien précise ?)
pour montrer que $\phi_1$ est une bijection qui est un homéomorphime, on me donne comme indication :
considérer $f_1(t)=(\frac{2t}{t^+1},\frac{t^2-1}{t^2+1})$ ($f_1: \R \to \R^2$)
donc je calcule $\phi_1(f_1(t))=t$, c'est ce qui permet de conclure ?