Triangle de Pascal
Triangle de Pascal
Je me suis intéressé sur les valeurs des cosinus qui ne sont pas remarquables. En cherchant un peu sur le net, on trouve le fameux triangle de Pascal qui permet de trouver des valeurs pour $\cos(\displaystyle\frac{\pi}{n})$ où $n \in \N$.
Sur ce lien http://jc.michel.free.fr/trianglepascal/cosinus.php, il nous explique comment trouver la valeur exacte de $\cos(\ds\frac{\pi}{5})$. Alors, c'est bien joli, mais je n'ai pas compris un point.
Comment sais-t-on que les racines du polynômes sont de la forme $4\cos^2(\ds k\cdot\frac{\pi}{5}), k = \{1,2\}$ ?
Il ne semble pas y répondre sur la page. Avez-vous une idée ?
Sur ce lien http://jc.michel.free.fr/trianglepascal/cosinus.php, il nous explique comment trouver la valeur exacte de $\cos(\ds\frac{\pi}{5})$. Alors, c'est bien joli, mais je n'ai pas compris un point.
Comment sais-t-on que les racines du polynômes sont de la forme $4\cos^2(\ds k\cdot\frac{\pi}{5}), k = \{1,2\}$ ?
Il ne semble pas y répondre sur la page. Avez-vous une idée ?
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Sinon il y a cette méthode:
$x^5-1=0$ a 5 racines qui sont 1, $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$, $\exp(\dfrac{-2i\pi}{5})$, $\exp(\dfrac{4i\pi}{5})$ et $\exp(\dfrac{-4i\pi}{5})$.
Or $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ et $x^4+x^3+x^2+x+1=x^2(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1+x+x^2)$
En remarquant que $(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$, on obtient:
$x^4+x^3+x^2+x+1=x^2[(x+\dfrac{1}{x})^2+(x+\dfrac{1}{x})-1]$
Comme $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$ est une racine de $x^4+x^3+x^2+x+1=0$, on en déduit que $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
Or $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}=\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+
\exp(\dfrac{-2i\pi}{5})=2\cos(\dfrac{2\pi}{5})$
Donc $2\cos(\dfrac{2\pi}{5})$ est la racine positive de $X^2+X-1=0$.
Ainsi on peut trouver $\cos(\dfrac{2\pi}{5})$ puis $\cos(\dfrac{\pi}{5})$.
$x^5-1=0$ a 5 racines qui sont 1, $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$, $\exp(\dfrac{-2i\pi}{5})$, $\exp(\dfrac{4i\pi}{5})$ et $\exp(\dfrac{-4i\pi}{5})$.
Or $x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ et $x^4+x^3+x^2+x+1=x^2(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1+x+x^2)$
En remarquant que $(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$, on obtient:
$x^4+x^3+x^2+x+1=x^2[(x+\dfrac{1}{x})^2+(x+\dfrac{1}{x})-1]$
Comme $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$ est une racine de $x^4+x^3+x^2+x+1=0$, on en déduit que $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
Or $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}=\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+
\exp(\dfrac{-2i\pi}{5})=2\cos(\dfrac{2\pi}{5})$
Donc $2\cos(\dfrac{2\pi}{5})$ est la racine positive de $X^2+X-1=0$.
Ainsi on peut trouver $\cos(\dfrac{2\pi}{5})$ puis $\cos(\dfrac{\pi}{5})$.
Peux-tu expliquer comment tu déduit que $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}$ est racine de $X^2+X-1=0$ ? J'ai pas tout pigé là.Comme $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})$ est une racine de $x^4+x^3+x^2+x+1=0$, on en déduit que $\exp(\dfrac{2i\pi}{5})+\dfrac{1}{\exp(\dfrac{2i\pi}{5})}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
EDIT : Précique que $X = x + \dfrac{1}{x}$...
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On a $x_0$ une racine de $x^4+x^3+x^2+x+1=0$
Mais on sait que $x^4+x^3+x^2+x+1=x^2\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1\right]$
Par conséquent $x_0$ est une racine de $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1=0$ car $x_0 \neq 0$.
En posant $X=x+\dfrac{1}{x}$, on en déduit que $x_0+\dfrac{1}{x_0}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
Et ici $x_0=\exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)$
Mais on sait que $x^4+x^3+x^2+x+1=x^2\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1\right]$
Par conséquent $x_0$ est une racine de $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1=0$ car $x_0 \neq 0$.
En posant $X=x+\dfrac{1}{x}$, on en déduit que $x_0+\dfrac{1}{x_0}$ est racine de $X^2+X-1=0$.
Et ici $x_0=\exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)$
Dernière modification par Jean-charles le vendredi 16 février 2007, 17:39, modifié 1 fois.
ben car
$x^4+x^3+x^2+x+1=x^2\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1\right]$
Donc comme $exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)$ est racine du membre de droite et que son carré n'est pas nul, $exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)+\dfrac{1}{exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)}$ est racine de $X^2+X-1$..
[Edit Kojak : grillé ]
$x^4+x^3+x^2+x+1=x^2\left[\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1\right]$
Donc comme $exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)$ est racine du membre de droite et que son carré n'est pas nul, $exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)+\dfrac{1}{exp\left(\dfrac{2i\pi}{5}\right)}$ est racine de $X^2+X-1$..
[Edit Kojak : grillé ]
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j'ai eu la flemme d'écrireJean-charles a écrit :Et puis ton exponentiel, ben il est pas beau...
Code : Tout sélectionner
\text{exp}
Ben merci..Jean-charles a écrit : Par contre, j'aime bien tes parenthèses...
Code : Tout sélectionner
\left(... \right)
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Pour les fonctions usuelles :
$\exp$ et $\ln$ et $\cos$
Code : Tout sélectionner
$\exp$ et $\ln$ et $\cos$
Merci Arnaud... c'est vrai que pour l'expo, ça fait longtemps que je ne l'avais pas utilisé...Arnaud a écrit :Pour les fonctions usuelles :
$\exp$ et $\ln$ et $\cos$Code : Tout sélectionner
$\exp$ et $\ln$ et $\cos$
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