Limite d'une suite bizarre
Limite d'une suite bizarre
Bonjour à tous!
Voilà, depuis hier, je me pose une question qui peut paraître assez bête mais je ne pense ne l'est pas. J'essaye de calculer :
$\ds\lim\limits_{N \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}$
où, tous les termes $x_1, x_2, ..., x_n$ sont complètement aléatoires et tous positifs, et $\alpha$ et $\beta$ fixés et aussi posififs.
Il semble que tous ce beau monde tende vers $1$, mais je n'en suis pas trop convaincu.
J'en ai parlé à plusieurs personnes et ils me parlent de "série harmonique". Je ne sais pas trop ce que cela veut dire (hé oui, je ne suis qu'en Terminale S) mais une petite recherche (pas trop loin) me montre que :
$\ds\lim\limits_{n \to +\infty} \ds\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi ^2}{6}$
J'en viens donc à penser que ma première limite n'est pas si évidente.
Pouvez-vous m'éclairer ?
Voilà, depuis hier, je me pose une question qui peut paraître assez bête mais je ne pense ne l'est pas. J'essaye de calculer :
$\ds\lim\limits_{N \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}$
où, tous les termes $x_1, x_2, ..., x_n$ sont complètement aléatoires et tous positifs, et $\alpha$ et $\beta$ fixés et aussi posififs.
Il semble que tous ce beau monde tende vers $1$, mais je n'en suis pas trop convaincu.
J'en ai parlé à plusieurs personnes et ils me parlent de "série harmonique". Je ne sais pas trop ce que cela veut dire (hé oui, je ne suis qu'en Terminale S) mais une petite recherche (pas trop loin) me montre que :
$\ds\lim\limits_{n \to +\infty} \ds\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi ^2}{6}$
J'en viens donc à penser que ma première limite n'est pas si évidente.
Pouvez-vous m'éclairer ?
Dernière modification par Tunaki le dimanche 25 février 2007, 20:55, modifié 3 fois.
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Tiens, pour la série harmonique :
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_harmonique
C'est un exemple primordial.
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Re: Limite d'une suite bizarre
Tu veux dire :Tunaki a écrit :$\ds\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}$
où, tous les termes $x_1, x_2, ..., x_n$ sont complètement aléatoires et tous positifs, et $\alpha$ et $\beta$ fixés et aussi posififs.
$\ds\lim\limits_{N \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}$
sûrement ?
Et tes $x_n$ sont choisis au hasard dans quel intervalle fini d'entiers ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Limite d'une suite bizarre
Oui.guiguiche a écrit :Tu veux dire :Tunaki a écrit :$\ds\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{+\infty} x_n}$
où, tous les termes $x_1, x_2, ..., x_n$ sont complètement aléatoires et tous positifs, et $\alpha$ et $\beta$ fixés et aussi posififs.
$\ds\lim\limits_{N \to +\infty} \dfrac{\alpha + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}{\beta + \ds\sum_{n=1}^{N} x_n}$
sûrement ?
$x_n \in \N$ Ils n'appartiennent pas à un ensemble fini.Et tes $x_n$ sont choisis au hasard dans quel intervalle fini d'entiers ?
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Je dirais plutôt $\N^*$, sinon la limite pourrait être $\dfrac{\alpha}{\beta}$.
En considérant le fait que $x_n \ge 1$ pour tout $n$, on voit que la somme tend vers $+\infty$.
En utilisant le principe de "factorisation par le terme de plus haut degré" ( ce qui n'est bien sûr pas le cas ici ), on voit rapidement que la limite est 1.
Par contre je ne vois pas le rapport avec la série harmonique.
En considérant le fait que $x_n \ge 1$ pour tout $n$, on voit que la somme tend vers $+\infty$.
En utilisant le principe de "factorisation par le terme de plus haut degré" ( ce qui n'est bien sûr pas le cas ici ), on voit rapidement que la limite est 1.
Par contre je ne vois pas le rapport avec la série harmonique.
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Justement, c'est bien le problème car je crois avoir lu une fois qu'il n'existe pas de probabilité uniforme sur $\N$ (mais je ne suis pas spécialiste de la question donc je peux me tromper).Tunaki a écrit : $x_n \in \N$ Ils n'appartiennent pas à un ensemble fini.
Une fois réglé ce détail, le théorème de la limite centrée (niveau bac+2) doit pouvoir répondre à ta question.
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Je mettais l'exemple de la suite harmonique car, si on n'a pas de chance, et que $x_n = \dfrac{1}{n^2}$.Arnaud a écrit :Je dirais plutôt $\N^*$, sinon la limite pourrait être $\dfrac{\alpha}{\beta}$.
En considérant le fait que $x_n \ge 1$ pour tout $n$, on voit que la somme tend vers $+\infty$.
À ce moment là, ce ne tend plus du tout vers $+\infty$, mais $\dfrac{\pi ^2}{6}$
@guiguiche : En gros, à mon niveau, on ne peut pas répondre ?
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En toute rigueur, je ne pense pas. Toutefois, un raisonnement à la louche donne, en admettant que les $x_n$ soient tirés au hasard entre les entiers $a$ et $b$ (avec $a<b$) , on a la limite suivante :Tunaki a écrit :@guiguiche : En gros, à mon niveau, on ne peut pas répondre ?
$$\ds\lim_{n\to+\infty}\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}=\dfrac{a+b}{2}$$
Intuitivement, pour un grand nombre de $x_n$ tirés, quand on les ajoute, la somme est quasiment égale à la somme obtenue dans le cas où tous les $x_n$ sont égaux à la valeur moyenne possible.
Ainsi, ton numérateur et ton dénominateur ont pour ordre de grandeur $n\dfrac{a+b}{2}$ donc la limite que tu cherches est bien 1.
@Arnaud : pas besoin de supposer que les $x_n$ soient dans $\N^*$ au lieu de $\N$. S'il existait une probabilité uniforme sur $\N$, alors il serait presque impossible (au sens probabiliste du terme, hein) que tous les $x_n$ tirés (jusqu'à l'infini) soient simultanément nuls.
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En gros, si les $x_n$ appartiennent à $\N$, on a la limite qui tend vers 1.
Mais si maintenant on suppose que $x_n \in \R$. Ca rajouterait beaucoup d'autre nombres qui pourrait converger en les additionnant ensemble.
De plus, que se passe-t-il si les $x_n$ sont encore totalement aléatoire (calculés par un ordinateur), et n'ayant aucun lien entre eux, aucune fonction pour passer de $x_{n-1}$ à $x_n$ ?
Il me semble que la limite de départ ne tende plus vers 1...
Mais si maintenant on suppose que $x_n \in \R$. Ca rajouterait beaucoup d'autre nombres qui pourrait converger en les additionnant ensemble.
De plus, que se passe-t-il si les $x_n$ sont encore totalement aléatoire (calculés par un ordinateur), et n'ayant aucun lien entre eux, aucune fonction pour passer de $x_{n-1}$ à $x_n$ ?
Il me semble que la limite de départ ne tende plus vers 1...
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Je me répète : pour conclure sur la limite (avec le théorème de la limite centrée), il est nécessaire que les $x_n$ appartiennent à une partie finie de $\N$.
S'ils sont réels, il faut que la loi de ce tirage au sort admette une espérance et une variance. Peut-importe que que l'ensemble des valeurs prises soit infini.
S'ils sont réels, il faut que la loi de ce tirage au sort admette une espérance et une variance. Peut-importe que que l'ensemble des valeurs prises soit infini.
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Totalement aléatoire et calculés par un ordinateur c'est impossible. Les ordinateurs ne savent pas tirer au hasard. Ils simulent un tirage au hasard. Dans la pratique cela ne fait pas beaucoup de différence la plus part du temps. Par contre dans certains cas (en particulier en économie) les nombres tirés "au hasard" par un ordinateur ne sont pas assez aléatoire.De plus, que se passe-t-il si les x_n sont encore totalement aléatoire (calculés par un ordinateur), et n'ayant aucun lien entre eux, aucune fonction pour passer de $x_{n-1}$ à $x_n$ ?
Aucune fonction pour passer de $x_n$ à $x_{n+1}$. Je préciserais aucune fonction prévisible.
Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee.
Par solidarité, pas de MP.
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Cependant, en Terminale, on peut démontrer que ça converge.
En effet, on pose $u_n=\ds\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$. Il reste à démontrer que ces 2 suites sont adjacentes, et c'est règlé. Le seul problème est de déterminer la limite. Il est possible d'en obtenir des valeurs approchéees par encadrement de 2 termes de même indice des 2 suites $u_n$ et $v_n$.
On sait que cette limite est un réel et c'est déjà bien.
Car qu'en est-il de $\ds\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^3} $ mis à part le fait qu'il soit irrationnel ?
En effet, on pose $u_n=\ds\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}$ et $v_n=u_n+\dfrac{1}{n}$. Il reste à démontrer que ces 2 suites sont adjacentes, et c'est règlé. Le seul problème est de déterminer la limite. Il est possible d'en obtenir des valeurs approchéees par encadrement de 2 termes de même indice des 2 suites $u_n$ et $v_n$.
On sait que cette limite est un réel et c'est déjà bien.
Car qu'en est-il de $\ds\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^3} $ mis à part le fait qu'il soit irrationnel ?
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Petite digression : étant posé que pour $n>1$, $\ds \zeta(n)=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^n}$, il me semble qu'on peut dire que :
-- il existe une formule explicite pour $\zeta(2p)$, où $p\in \N^*$ ;
-- un prof de lycée a démontré que, lorsque $n$ parcourt les entiers impairs, $\zeta(n)$ prend une infinité de valeurs irrationnelles.
Vrai ?
-- il existe une formule explicite pour $\zeta(2p)$, où $p\in \N^*$ ;
-- un prof de lycée a démontré que, lorsque $n$ parcourt les entiers impairs, $\zeta(n)$ prend une infinité de valeurs irrationnelles.
Vrai ?
François D. a écrit :Petite digression : étant posé que pour $n>1$, $\ds \zeta(n)=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^n}$, il me semble qu'on peut dire que :
-- il existe une formule explicite pour $\zeta(2p)$, où $p\in \N^*$ ;
Oui, ça c'est Euler qui l'a démontré : $\dfrac{\zeta(2k)}{\pi^{2k}}$ est rationnel...
je ne sais pas qu'il l'a démontré mais ça date de 2001 seulement, j'crois...François D. a écrit :-- un prof de lycée a démontré que, lorsque $n$ parcourt les entiers impairs, $\zeta(n)$ prend une infinité de valeurs irrationnelles.
Vrai ?
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