E.v.n de dim finie. thm de Riesz

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Mouse

E.v.n de dim finie. thm de Riesz

Message non lu par Mouse »

Bonjour,

je prépare une leçon d'agreg interne sur les evn de dimension finie. Il m'est apparu naturel d'y faire apparaître le thm de riesz à savoir :

"Si la boule unité d'un evn est compacte, alors cet evn est de dim finie" (c'est même clairement une équivalence)

Mon pb est le suivant : Je n'ai trouvé dans les livres que des démonstrations à l'aide des recouvrements, or la seule définition de la compacité qui est au programme de l'interne est la propriété de Bolzano-Weierstrass. Connaisssez-vous une référence où le thm de riesz est montré avec BW ?

Merci
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

J'ai des références, mais pas les bouquins sous la main :

Pommelet p.70 et Brézis p. 92.
Il faudra que tu vérifies toi-même.

Question du jury : Montrer que les compacts sont d'intérieur vide en dimension infinie.

( je laisse quelque temps le sujet ici, le temps que tu aies des réponses, et après je déplace dans la section agreg interne ;) ).
Arnaud
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kojak
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Message non lu par kojak »

Arnaud a écrit : Question du jury : Montrer que les compacts sont d'intérieur vide en dimension infinie.
Pour mon cas, j'ai souvenir que le jury pose des questions sur ce que tu as dit : dans tes démonstrations, ou parmi les résultats que tu énonces, en particulier pour la leçon, afin d'obtenir des éclaircissements, ou tout simplement pour voir si tu sais d'où vient ce que tu affirmes. Au fur et à mesure, soit le niveau des questions augmente, si tu réponds correctement, soit il baisse : dans ce cas là, faut se dire que "j'ai du en dire une belle sans m'en rendre compte"....
Ceci ne provient que de mon expérience de l'oral de l'agreg interne ainsi que des quelques prestations auxquelles j'avais pu assister...
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Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Oui, c'est une conséquence directe du théorème, posée réellement lors d'un oral ( bon c'était à l'externe...mais comme Mouse la prépare aussi... ).
Arnaud
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Mouse

Message non lu par Mouse »

@Arnaud. c'est l'application que je comptais mettre. Merci pour les ref, en plus je les ai sous la main.

merci
Arnaud
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Message non lu par Arnaud »

Tu pourrais aussi nous tenir au courant ? ( la réponse à ta question m'intéresse également )
Arnaud
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Mouse

Message non lu par Mouse »

En fait dans Pommelet le thm est montré avec les recouvrements mais dans Brezis il y a effectivement le thm avec les suites que je cherchais.

Merci !
Mouse

Message non lu par Mouse »

Dans le rombaldi "analyse matricielle", il y a une caractérisation des evndf faites en 2 lemmes et 5 points équivalents (dont riesz) et riesz est démontré avec BW (en fait c'est la même preuve que Brezis). Cette présentation est surement un peu lourde mais je vais la tenter pour la leçon que j'expose mercredi.

A+
P.Fradin

Message non lu par P.Fradin »

Bonjour,

il y a aussi une preuve dans les livres de prépa d'Arnaudiès & Fraysse (Dunod Université), tome 2 page 582. Li'dée est assez simple et tient en 5-6 lignes: on montre qu'en dimension infinie il est possible de construire une suite $(e_n)$ de la boule unité qui vérifie:
$$\forall n,p\in \mathbb{N}, n\neq p \Longrightarrow \|e_n-e_p\|\geq 1$$
On ne peut donc pas en extraire une suite convergente.