complexe
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salut J ai un soucis sur cette ecercice. Soit
$\ds P(x) = -64x\prod_{k=1}^6 \left(x - \sin(\frac {2k\pi}{7})\right)$
montrer $\cos(7x)=P(\cos(x))$
je pense que je dois lineariser cos(7x) et reduire P mais je n arrive pas à le reduire, Comment puis je y arriver
[edit guiguiche : \Large ne sert à rien en mode mathématique, du moins je crois]
$\ds P(x) = -64x\prod_{k=1}^6 \left(x - \sin(\frac {2k\pi}{7})\right)$
montrer $\cos(7x)=P(\cos(x))$
je pense que je dois lineariser cos(7x) et reduire P mais je n arrive pas à le reduire, Comment puis je y arriver
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Déjà, que donne la linéarisation de cos(7x) ?
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Une erreur de recopie : exposant 5 sur le cosinus au deuxième terme.
Pour poursuivre, il serait peut-être judicieux de transformer tous les sin en cos (puisque ton polynôme est en cos).
Pour poursuivre, il serait peut-être judicieux de transformer tous les sin en cos (puisque ton polynôme est en cos).
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OK (je n'ai pas vérifié le résultat mais c'est la bonne méthode).
Ensuite, développe P(cos(x)) en remarquant qu'il y a des termes qui se ressemblent pour k=1 et k=6, k=2 et k=5, ...
Ensuite, développe P(cos(x)) en remarquant qu'il y a des termes qui se ressemblent pour k=1 et k=6, k=2 et k=5, ...
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Un peu d'autopromotion.
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je remarque en effet que
sin(2pi/7)= sin(pi-2pi/7)=sin(5pi/7) et que sin(12pi/7)= -sin(pi+12pi/7)=-sin(5pi/7)
donc P(x) = 64 cos (x) *( cos^2_x - sin^2(5pi/7) *( cos^2_x - sin^2(3pi/7) * *( cos^2_x - sin^2(pi/7)
(il n y a pas de - dans l expression de P(x) )
mais que dois faire ensuite developper me semble tro compliquer il doit y avoir une autre methode mais je ne vois pas laquelle
sin(2pi/7)= sin(pi-2pi/7)=sin(5pi/7) et que sin(12pi/7)= -sin(pi+12pi/7)=-sin(5pi/7)
donc P(x) = 64 cos (x) *( cos^2_x - sin^2(5pi/7) *( cos^2_x - sin^2(3pi/7) * *( cos^2_x - sin^2(pi/7)
(il n y a pas de - dans l expression de P(x) )
mais que dois faire ensuite developper me semble tro compliquer il doit y avoir une autre methode mais je ne vois pas laquelle
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Ca commence à être difficilement lisible sans LaTeX.antoine a écrit :je remarque en effet que
sin(2pi/7)= sin(pi-2pi/7)=sin(5pi/7) et que sin(12pi/7)= -sin(pi+12pi/7)=-sin(5pi/7)
donc P(x) = 64 cos (x) *( cos^2_x - sin^2(5pi/7) *( cos^2_x - sin^2(3pi/7) * *( cos^2_x - sin^2(pi/7)
(il n y a pas de - dans l expression de P(x) )
mais que dois faire ensuite developper me semble tro compliquer il doit y avoir une autre methode mais je ne vois pas laquelle
Code : Tout sélectionner
$\sin(\frac{2\pi}{7}) = \sin(\pi-\frac{2\pi}{7}) = \sin(\frac{5\pi}{7})$ et que $\sin(\frac{12\pi}{7})= -\sin(\pi+\frac{12\pi}{7}) = -\sin(\frac{5\pi}{7})$
$\sin(\frac{2\pi}{7}) = \sin(\pi-\frac{2\pi}{7}) = \sin(\frac{5\pi}{7})$ et que $\sin(\frac{12\pi}{7})= -\sin(\pi+\frac{12\pi}{7}) = -\sin(\frac{5\pi}{7})$
Edite ton message pour corriger comme j'ai écrit.
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Il faudrait développer encore.
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en développant on trouve
si je ne me trompe pas.Il faut ensuite que j identifie ce qui cos^5(x) cos^3(x) cos(x)?
Code : Tout sélectionner
[tex]\begin{multline}
P(cos(x))= 64(cos^7(x)-cos^5(x)(sin^2(\frac {pi}{7})+sin^2(\frac {3pi}{7})+sin^2(\frac {5pi}{7})+cos^3(x)(sin^2(\frac {pi}{7})sin^2(\frac {3pi}{7}) \\
+sin^2(\frac {5pi}{7})(sin^2(\frac {pi}{7})+sin^2(\frac {3pi}{7})-cos(x)sin^2(\frac {pi}{7})sin^2(\frac {3pi}{7})sin^2(\frac {5pi}{7}))\end{multline}[/tex]