Inégalité de Young
Inégalité de Young
Bonsoir,
voici mon exercice :
soit f une fonction définie sur R+ à valeurs dans R, dérivable, strictement croissante et telle que f(0)=0.
1)pour tout x>0 montrer que
$\int\limits_{0}^{x} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{f(x)} f^{-1}(t)dt$=$xf(x)$
Interpréter géométriquement.
ceci ne m'a pas posé de problème, j'ai posé g : x->$\int\limits_{0}^{x} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{f(x)} f^{-1}(t)dt$-$xf(x)$
et j'ai montré que c'était la fonction nulle.
interprétation géométrique : ok.
2)En déduire que, pour tout a,b>0
$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt$$\geq ab$
et que l'égalité se produit si et seulement si b=f(a)
en appliquant chasles au résultat de 1) :
$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt$$= af(a)$ - $\int\limits_{b}^{f(a)} f^{-1}(t)dt$
mais après je vois plus...
Merci d'avance pour toute aide.
voici mon exercice :
soit f une fonction définie sur R+ à valeurs dans R, dérivable, strictement croissante et telle que f(0)=0.
1)pour tout x>0 montrer que
$\int\limits_{0}^{x} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{f(x)} f^{-1}(t)dt$=$xf(x)$
Interpréter géométriquement.
ceci ne m'a pas posé de problème, j'ai posé g : x->$\int\limits_{0}^{x} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{f(x)} f^{-1}(t)dt$-$xf(x)$
et j'ai montré que c'était la fonction nulle.
interprétation géométrique : ok.
2)En déduire que, pour tout a,b>0
$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt$$\geq ab$
et que l'égalité se produit si et seulement si b=f(a)
en appliquant chasles au résultat de 1) :
$\int\limits_{0}^{a} f(t)dt$+$\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt$$= af(a)$ - $\int\limits_{b}^{f(a)} f^{-1}(t)dt$
mais après je vois plus...
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Dernière modification par Pythix le dimanche 18 mars 2007, 10:31, modifié 1 fois.
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T'as répondu quoi à l'interprétation graphique ? Si c'est ce que je pense, ton dessin doit pouvoir faire deviner la réponse à la deuxième question.
J'ai l'impression que pour celle-là il faut distinguer les cas $f(a) > b$ et $f(a) < b$.
J'ai l'impression que pour celle-là il faut distinguer les cas $f(a) > b$ et $f(a) < b$.
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
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Fixe $a$ et pose $h(b)=\int\limits_{0}^{a} f(t)dt+\int\limits_{0}^{b} f^{-1}(t)dt-ab$. Etudie alors les variations de cette fonction $h$.
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Tu as dû commettre une erreur dans l'étude des variations.Pythix a écrit :quand h est décroissante il faut calculer la limite en +infini ?
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Dans ton choix, $a$ est la variable (et $b$ est un paramètre fixé) donc ton étude de signe est très incomplète.
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Lorsque tu écris "f(a)>b", la variable a n'est pas fixée. L'étude de signe du g'(a) dépend des valeurs de a.
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Si. Mais as-tu dressé le tableau de signe de g'(a) ?
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Donc c'est fini, non ?
Edit : ne pas oublier de justifier le signe à l'aide des variations de f.
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Il y a un minimum qui vaut ... ?
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Bah ça arrive à tout le monde de ne pas voir des choses évidentes parfois.
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