[MPSI] Développements limités

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pouik

[MPSI] Développements limités

Message non lu par pouik »

Bonsoir,
Je bloque dès la première question de ce bout de problème... Ca commence mal ! donc si vous pouviez m'aider ce serait genial. Merci d'avance.

On désigne par $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(w_n)_{n \in \N^*}$ les suites de terme général $u_n = \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}$ et $w_n = \ln{n!} - \ln{u_n}$.

1. Soit $\phi_0$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par $\phi_0(x) = x - \dfrac{1}{2} \ln{\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)}$.
(a) Déterminer le signe de $\phi_0(x)$ selon la position de $x$ dans $]-1;1[$.
(b) Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $w_{n+1} - w_n = (2n+1) \phi_0 \left(\dfrac{1}{2n+1}\right)$.
(c) En déduire que $(w_n)_{n \in \N^*}$ est monotone et préciser sa monotonie.
2. (a) A l'aide d'un développement limité, déterminer un équivalent simple de $\dfrac{\phi_0(x)}{x}$ au voisinage de $0$.
(b) En déduire un équivalent simple de $w_{n+1} - w_n$.


Donc dès la première je n'y arrive pas : j'ai essayé de faire l'étude de la fonction mais ca n'aboutit pas !! Comment faire ??
tigris

Message non lu par tigris »

$\rm{Argth}(x)=\dfrac{1}{2}\ln{\dfrac{1+x}{1-x}}$. Cela ne t'aide-t-il pas ?
davou03
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Message non lu par davou03 »

Salut

Que trouves-tu comme dérivée et as-tu calculé $ \phi_0(0) $ ?

Au fait, le sujet s'arrète-t-il là ou est-ce une démo de la formule de Stirling ?
pouik

Message non lu par pouik »

Bonjour,
J'avais remarqué l'égalité avec $argth$ mais je ne pense pas que ca serve pour l'instant. Sinon le sujet ne s'arrete pas là et effectivement c'est une demo du theoreme de Stirling !!

Pour la dérivée je la mets tout à l'heure car là je dois partir...
pouik

Message non lu par pouik »

donc pour la dérivée, je trouve :
$$\phi'_0(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2 - 1}$$

soit : $$\phi'_0(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$$

donc $\phi_0$ est donc strictement décroissante sur $]-1;1[$.

Or : $$\phi'_0(0) = 0$$

donc on a le signe de $\phi_0$. Non ??
kojak
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Message non lu par kojak »

Bonjour Pouik,

Oui, c'est ça... donc tu peux conclure pour le signe de ta fonction.
Pas d'aide par MP.
pouik

Message non lu par pouik »

okay.
Pour la question (b), dois-je partir de $w_{n+1} - w_n$ ?? ou du résultat ?? ie du membre de droite.
guiguiche
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Message non lu par guiguiche »

Membre de gauche a priori.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
pouik

Message non lu par pouik »

Je trouve mais après je suis bloqué :
$$w_{n+1} - w_n = \ln{(n+1)} - \ln{\left[\dfrac{(n+1)^{n+1} \sqrt{n+1}}{n^n \sqrt{n} e}\right]}$$
Dernière modification par pouik le vendredi 13 avril 2007, 19:02, modifié 1 fois.
davou03
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Message non lu par davou03 »

Le n + 1 est entre parenthèse, je crois.
Essaie d'écrire les racines sous forme de puissances, ça peut aider... puis propriétés du ln...
pouik

Message non lu par pouik »

d'où :
$$w_{n+1} - w_n = \ln{\left[\dfrac{n^{n+\frac{1}{2}} e}{(n+1)^{n+\frac{1}{2}}}\right]}$$

Non ??
davou03
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Message non lu par davou03 »

Voilà, puis sort le e et l'exposant, ensuite tu devrais obtenir la même chose en partant de l'autre côté.
pouik

Message non lu par pouik »

okay pour la (b).

Pour la (c), le signe de ce truc est un peu compliqué !! Y-at-il une facon de le simplifier ??

Merci d'avance.
kojak
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Message non lu par kojak »

Ben faut que tu te serves de la 1a) avec $x=\dfrac{1}{2n+1}$ non :roll:
Pas d'aide par MP.
pouik

Message non lu par pouik »

donc comme $\dfrac{1}{2n+1} > 0$, on a $(w_n)$ strictement croissante.

Est-ce correct ??
kojak
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Message non lu par kojak »

Oui, c'est correct....
Pas d'aide par MP.
pouik

Message non lu par pouik »

Bonjour,
Pour la 2.(a),
J'ai fais un $DL_3(0)$ et je trouve l'équivalent suivant : $-\dfrac{x^2}{3}$

Est-ce correct ??

Sinon pour la question suivante, je ne vois pas du tout comment procéder !?
kojak
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Message non lu par kojak »

Oui, c'est bon...
Pour la 2b), c'est l'application de la 2a) avec $x=\dfrac{1}{2n+1}$ non....
Pas d'aide par MP.
pouik

Message non lu par pouik »

donc c'est : $$-\dfrac{1}{3(2n+1)}$$

Non ??
kojak
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Message non lu par kojak »

Ben j'crois pas : il manque un carré non :roll: et tu peux encore le simplifier...
Pas d'aide par MP.
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