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Bonsoir,
Je bloque dès la première question de ce bout de problème... Ca commence mal ! donc si vous pouviez m'aider ce serait genial. Merci d'avance.
On désigne par $(u_n)_{n \in \N^*}$ et $(w_n)_{n \in \N^*}$ les suites de terme général $u_n = \left(\dfrac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}$ et $w_n = \ln{n!} - \ln{u_n}$.
1. Soit $\phi_0$ la fonction définie sur $]-1;1[$ par $\phi_0(x) = x - \dfrac{1}{2} \ln{\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)}$.
(a) Déterminer le signe de $\phi_0(x)$ selon la position de $x$ dans $]-1;1[$.
(b) Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $w_{n+1} - w_n = (2n+1) \phi_0 \left(\dfrac{1}{2n+1}\right)$.
(c) En déduire que $(w_n)_{n \in \N^*}$ est monotone et préciser sa monotonie.
2. (a) A l'aide d'un développement limité, déterminer un équivalent simple de $\dfrac{\phi_0(x)}{x}$ au voisinage de $0$.
(b) En déduire un équivalent simple de $w_{n+1} - w_n$.
Donc dès la première je n'y arrive pas : j'ai essayé de faire l'étude de la fonction mais ca n'aboutit pas !! Comment faire ??
Bonjour,
J'avais remarqué l'égalité avec $argth$ mais je ne pense pas que ca serve pour l'instant. Sinon le sujet ne s'arrete pas là et effectivement c'est une demo du theoreme de Stirling !!
Pour la dérivée je la mets tout à l'heure car là je dois partir...
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Un peu d'autopromotion.