Comment démontrer que la surface d'un cercle est $\pi r^2$

[boss des math]

Bonjour à tous 8) Ceci est mon 1er message ici.

Voici mon problème : je souhaiterai pour ma culture personnelle démontrer que la surface d'un cercle est :

$S=\pi \times r^{2}$

J'ai évidemment essayé avec le calcul intégral, avec de la trigo, mais pour l'instant en vain...
Idem avec une recherche Google

Je pense que la résolution est du niveau "terminale", mais même si j'aime les maths, j'avoue que tout cela est certes bien loin...
Je remercie par avance celles et ceux qui font vivre ce forum de MATHS...

Thierry ("boss des math")

[Valvino]

Tu peux y aller par une intégrale.

Ok tu sais que par pythagore la courbe qui donne une moitié de cercle de rayon $R$ et de centre l'origine c'est:
$\begin{array}{rl}f: [-R,R] &\rightarrow \R \\ x &\mapsto \sqrt{R^2-x^2}\end{array}$

Comme elle est de plus impaire la surface $S$ de ton cercle vaut:

$$S=\displaystyle 4\int_0^R f(t)\text{d}t$$

Essaye de calculer $S$


Edit: petite aide, il faut faire un changement de variable $\sin u=\dfrac{t}{R}$

[Valvino]

Si je me souviens bien y'a d'autres méthodes, notamment la méthode d'approximation d'Archimède (pas sûr que ca soit ca...) qui consiste à approximer le cercle par un suite qui forme un polygone dont le nombre de côté est croissante, la limite de cette suite est l'aire du cercle.

[Arnaud]

Edit: petite aide, il faut faire un changement de variable $\sin t=\dfrac{t}{R}$

Ton changement de variable n'est pas très bien écrit.

[Valvino]

Exact petite boulette dû à une non-relecture

[rebouxo]

Si je me souviens bien y'a d'autres méthodes, notamment la méthode d'approximation d'Archimède (pas sûr que ca soit ca...) qui consiste à approximer le cercle par un suite qui forme un polygone dont le nombre de côté est croissante, la limite de cette suite est l'aire du cercle.

Ca c'est pour l'encadrement de $\pi$.
Par contre il y a un moyen de montrer que le $\pi$ dans la formule du périmètre est le même que dans la formule de l'aire, en découpant le disque en $n$ parts et en transformant le disque en un "polygone" en mettant tête-bèche les parts ainsi obtenue.
En prenant un très grand nombre de part, on a alors un rectangle , et donc l'aire du disque se déduit de la longueur du périmètre.

Olivier

[DéfiTexte]

Archimède a vu que si des triangles inscrits dans un cercle deviennent infiniment aigus, leurs bases tendant vers rien, leurs surfaces, (base par hauteur) divisé par deux, se confondent avec hauteur divisée par deux c'est-à-dire rayon divisé par deux : rien ce n'est pas zéro. La surface du cercle est alors ce demi rayon multiplié par la circonférence soit r/2*π2r=πr² ; car, π étant le rapport de la circonférence avec le diamètre, π=c/d, c=π2r. Cette surface s'écrit aussi (r*π2r)/2 : l'aire d'un cercle est égale à celle d'un triangle dont la hauteur est égale au rayon du cercle et la base est égale à la circonférence du cercle ; or puisque dans un triangle rectangle la hauteur coïncide avec un côté, Archimède dit alors "l'aire d'un cercle est égale à celle d'un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon du cercle et l'autre côté de l'angle droit à la circonférence du même cercle."

[NicolasJoffre]

La méthode la plus rapide est intégrer « r*dteta » c’est à dire la surface élémentaire d’un cercle. Cette méthode est plus physique mais elle a le mérite d’être rapide, voire immédiate à comprendre.