Proposition I à démontrer
Proposition I à démontrer
Qui peut nous faire la démonstration de la proposition suivante en n’y faisant usage que du simple outil de la géométrie pure, c'est-à-dire de celui même des anciens ?
La proposition :
Si une droite D est partagée en ses deux parties égales, celles-ci comprendront le plus grand rectangle de tous les rectangles qui sont compris entre les différentes parties de cette droite pour d’autres partages autre que le partage en ses deux parties égales.
La proposition :
Si une droite D est partagée en ses deux parties égales, celles-ci comprendront le plus grand rectangle de tous les rectangles qui sont compris entre les différentes parties de cette droite pour d’autres partages autre que le partage en ses deux parties égales.
-
- Modérateur général
- Messages : 8191
- Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
- Statut actuel : Enseignant
- Localisation : Le Mans
- Contact :
Re: Proposition I à démontrer
Pour quel niveau ? Qu'as-tu déjà fait ?AVICENNA a écrit :Qui peut nous faire la démonstration de la proposition suivante en n’y faisant usage que du simple outil de la géométrie pure, c'est-à-dire de celui même des anciens ?
Tout point de la droite la partage en deux "parties égales".AVICENNA a écrit : La proposition :
Si une droite D est partagée en ses deux parties égales,
Je n'ai rien compris.AVICENNA a écrit :celles-ci comprendront le plus grand rectangle de tous les rectangles qui sont compris entre les différentes parties de cette droite pour d’autres partages autre que le partage en ses deux parties égales.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Bonjour.
Il suffit d'un petit puzzle, voir figure jointe, le rectangle rouge a pour longueur le côté du carré réunion du rectangle rouge et du rectangle blanc. Le rectangle vert a même largeur que le rectangle rouge mais sa longueur est moindre que le côté du carré. La surface du rectangle rouge est donc plus grande que celle du rectangle vert. La surface du carré, qui est la somme de celle du rectangle blanc et du rectangle rouge est donc plus grande que celle du rectangle de même périmètre, $2a,$ obtenu avec les rectangles blanc et vert.
Il suffit d'un petit puzzle, voir figure jointe, le rectangle rouge a pour longueur le côté du carré réunion du rectangle rouge et du rectangle blanc. Le rectangle vert a même largeur que le rectangle rouge mais sa longueur est moindre que le côté du carré. La surface du rectangle rouge est donc plus grande que celle du rectangle vert. La surface du carré, qui est la somme de celle du rectangle blanc et du rectangle rouge est donc plus grande que celle du rectangle de même périmètre, $2a,$ obtenu avec les rectangles blanc et vert.
- Pièces jointes
-
- Eucl.gif
- (2.16 Kio) Téléchargé 387 fois
Re bonjour.
Comme quoi on peut être familier avec une figure pendant 50 ans et ne pas y voir l'essentiel.
Tout le monde connaît cette relation caractéristique du triangle rectangle : $AH^2 = HB \ldotp HC$ (si $H$ appartient au segment $[BC]$). Donc l'aire du rectangle dont les côtés ont pour longueurs respectives $HB$ et $HC$ est la même que celle du carré de côté $AH$ (c'est toujours ainsi que j'ai considéré cette figure : quadrature du rectangle). Or l'aire du carré de côté $OI$ est évidemment strictement supérieure à celle du carré de côté $AH$ si $H \neq I$.
Comme quoi on peut être familier avec une figure pendant 50 ans et ne pas y voir l'essentiel.
Tout le monde connaît cette relation caractéristique du triangle rectangle : $AH^2 = HB \ldotp HC$ (si $H$ appartient au segment $[BC]$). Donc l'aire du rectangle dont les côtés ont pour longueurs respectives $HB$ et $HC$ est la même que celle du carré de côté $AH$ (c'est toujours ainsi que j'ai considéré cette figure : quadrature du rectangle). Or l'aire du carré de côté $OI$ est évidemment strictement supérieure à celle du carré de côté $AH$ si $H \neq I$.
- Pièces jointes
-
- Eucl1.gif
- (3.16 Kio) Téléchargé 357 fois
Dernière modification par Bruno le jeudi 05 juillet 2007, 09:42, modifié 2 fois.
Justement répondu Bruno ! Mais il faudra ajouter ces quelques précisions :
Soit la droite BC donnée. Décrire sur celle-ci le segment du cercle B I C qui reçoive un angle égal à un angle droit (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 33, Liber III). Or ce segment est un demi cercle (EUCLIDE, Les Eléments, Les Eléments, Proposition 31, Liber III). D’un point quelconque H sur B C autre que O qui divise en deux parties égales le diamètre B C, élevons la perpendiculaire H A (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 11, Liber I ; demande 1). Puis joignons B A, A C (EUCLIDE, Les Eléments, demande 1). IL est évident que le triangle B A C est droit en A (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 21, Liber III). Ensuite élevons du centre O le demi diamètre O I perpendiculairement à B C (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 11, Liber I ; demande 1) ; et imaginons aussi le rectangle B I C rectangle en I (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 21, Liber III). Ainsi le rectangle compris entre B O et O C est il égal au quarré du demi diamètre O I, et le rectangle compris entre B H et H C est il aussi égal au quarré de A H (EUCLIDE, Les Eléments, corollaire de la proposition 8, Liber VI). Or I O est plus grand que A H (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 15, Liber III) ; donc le quarré de I O est plus grand que le quarré de A H, c'est-à-dire que le rectangle compris entre les deux parties égales BO, O C, est plus grand que celui compris entres les deux parties inégales B H, H C. Ce qu’il fallait démontrer.
N.B : Les renvois aux propositions d’Euclide, ont été faits d’après la traduction française de F.Peyrard des Eléments.
Soit la droite BC donnée. Décrire sur celle-ci le segment du cercle B I C qui reçoive un angle égal à un angle droit (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 33, Liber III). Or ce segment est un demi cercle (EUCLIDE, Les Eléments, Les Eléments, Proposition 31, Liber III). D’un point quelconque H sur B C autre que O qui divise en deux parties égales le diamètre B C, élevons la perpendiculaire H A (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 11, Liber I ; demande 1). Puis joignons B A, A C (EUCLIDE, Les Eléments, demande 1). IL est évident que le triangle B A C est droit en A (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 21, Liber III). Ensuite élevons du centre O le demi diamètre O I perpendiculairement à B C (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 11, Liber I ; demande 1) ; et imaginons aussi le rectangle B I C rectangle en I (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 21, Liber III). Ainsi le rectangle compris entre B O et O C est il égal au quarré du demi diamètre O I, et le rectangle compris entre B H et H C est il aussi égal au quarré de A H (EUCLIDE, Les Eléments, corollaire de la proposition 8, Liber VI). Or I O est plus grand que A H (EUCLIDE, Les Eléments, Proposition 15, Liber III) ; donc le quarré de I O est plus grand que le quarré de A H, c'est-à-dire que le rectangle compris entre les deux parties égales BO, O C, est plus grand que celui compris entres les deux parties inégales B H, H C. Ce qu’il fallait démontrer.
N.B : Les renvois aux propositions d’Euclide, ont été faits d’après la traduction française de F.Peyrard des Eléments.
-
- Modérateur général
- Messages : 8191
- Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
- Statut actuel : Enseignant
- Localisation : Le Mans
- Contact :
Inutile d'écrire en gras, on peut lire une police normale.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 1839
- Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
- Localisation : Un peu plus à l'Ouest
AVICENNA, Bruno est certainement l'une des personnes les plus calées en Géométrie que tu trouveras sur des forums français. Il a lu Euclide depuis ses 6 ans (et c'était il y a longtemps), et en prend toujours un tome pour s'occuper sur la plage entre deux baignades, alors ne lui fais pas de leçon de géométrie, c'est assez ridicule... 8)
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
Mais non Tryphon, contrairement à Blaise Pascal, je n'ai pas eu de soeur pour décrire mes exploits, mais à l'âge de six ans j'avais retrouvé tout seul les trente trois premières propositions du livre I d'Euclide
Ceci dit, merci de prendre ma défense, je n'avais nullement l'intention de répliquer à ce personnage. Quant à ton éloge, elle me fait rougir
Amitiés
Ceci dit, merci de prendre ma défense, je n'avais nullement l'intention de répliquer à ce personnage. Quant à ton éloge, elle me fait rougir
Amitiés
-
- Modérateur général
- Messages : 8191
- Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
- Statut actuel : Enseignant
- Localisation : Le Mans
- Contact :
[flood] Tant que vous y êtes à vous congratuler entre modo de les-maths.net, pourquoi il marche plus votre forum depuis 4 jours ? [/flood]
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
-
- Modérateur général
- Messages : 8191
- Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
- Statut actuel : Enseignant
- Localisation : Le Mans
- Contact :
Ah ben, à l'instant ça remarche. Mais je n'avais vu aucun mot explicatif.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.