Question sur les groupes
Question sur les groupes
bonjour, j'ai un petit doute sur un résultat, j'espère que vous m'aiderez :
soit $G$ un groupe, et $H$ un sous groupe de $G$ , $a$ et $b$ deux éléments de $G$ .
a-t-on l'implication suivante : $aH=bH$ entraine $a=b$
Je n'arrive pas a le démontrer en tout cas, donc je pense que c'est faux... Mais j'ai trouvé un exercice qui utilise un résultat analogue, mais sans détailler ce qui suppose que j'ai probablement fait une erreur d'interprétation...
Je m'explique : On a la relation d'équivalence suivante $x \sim y$ ssi $x^-^1y \in H$ On sait que la classe d'équivalence de l'élément $a \in G$ est $aH$.
C'est à partir de là que j'ai un problème:
On considère les éléments $ah$ et $bh'$ où $a,b \in G$ et $h,h' \in H$ tels que $ah=bh'$. Donc $ah$ et $bh'$ appartiennent à la même classe d'équivalence. Ici on a le rappel : "les classes d'équivalence étant disjointes ou confondues" qui est censé permettre de conclure que $a=b$ mais je ne vois pas d'ou sort ce résultat si $aH=bH$ n'entraine pas $a=b$
Merci pour vos réponses
soit $G$ un groupe, et $H$ un sous groupe de $G$ , $a$ et $b$ deux éléments de $G$ .
a-t-on l'implication suivante : $aH=bH$ entraine $a=b$
Je n'arrive pas a le démontrer en tout cas, donc je pense que c'est faux... Mais j'ai trouvé un exercice qui utilise un résultat analogue, mais sans détailler ce qui suppose que j'ai probablement fait une erreur d'interprétation...
Je m'explique : On a la relation d'équivalence suivante $x \sim y$ ssi $x^-^1y \in H$ On sait que la classe d'équivalence de l'élément $a \in G$ est $aH$.
C'est à partir de là que j'ai un problème:
On considère les éléments $ah$ et $bh'$ où $a,b \in G$ et $h,h' \in H$ tels que $ah=bh'$. Donc $ah$ et $bh'$ appartiennent à la même classe d'équivalence. Ici on a le rappel : "les classes d'équivalence étant disjointes ou confondues" qui est censé permettre de conclure que $a=b$ mais je ne vois pas d'ou sort ce résultat si $aH=bH$ n'entraine pas $a=b$
Merci pour vos réponses
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Re: Question sur les groupes
Bonjour,
Je déplace le sujet car il ne s'agit pas vraiment d'un exercice.
Je ne pense pas que $aH=bH$ implique $a=b$.
Je déplace le sujet car il ne s'agit pas vraiment d'un exercice.
Tu peux préciser le contexte ?themoskito a écrit :Ici on a le rappel : "les classes d'équivalence étant disjointes ou confondues" qui est censé permettre de conclure que $a=b$
Je ne pense pas que $aH=bH$ implique $a=b$.
Non je ne pense pas non plus, c'est pour ca que je ne comprends pas la correction de l'exo.Je ne pense pas que $aH=bH$ implique $a=b$.
On a un élément qui s'écrit de deux facons différentes : $ah=bh'$
Or $ah \in aH$ et $bh' \in bH$ donc cet élément $ah=bh' \in aH \cap bH$
Donc via la remarque sur les classes d'équivalences, comme $aH \cap bH \ne \emptyset $ (vu qu'il contient un élément), alors j'en déduis que $aH=bH$. Mais ensuite d'après le livre, $a=b$ or je ne comprends pas d'où cela vient...
Je ne vois pas trop ce que je peux préciser sur le contexte... On a juste un groupe et un sous groupe, et une relation d'aquivalence.
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C'est quoi comme livre ?themoskito a écrit :Je ne vois pas trop ce que je peux préciser sur le contexte... On a juste un groupe et un sous groupe, et une relation d'aquivalence.
Mais bon, si tu prends $a \in H$ et $b = a^{-1}$ (qui est donc aussi dans $H$). On a $aH=H$ et $bH=H$ donc $aH=bH$. Pourtant on ne peut pas conclure que $a=a^{-1}$.
Ce serait bien de mettre l'exercice dans un message, car là il y a manifestement quelque chose qui ne va pas. Même si le groupe est commutatif : plaçons-nous dans $\Z$ :
Par exemple, $26 - 8 = 18$ donc $8 + 9\,\Z = 26 + 9\,\Z$ et manifestement, $8$ et $26$ sont distincts.
P.S. Impardonnable, j'ai omis "Bonjour "
Par exemple, $26 - 8 = 18$ donc $8 + 9\,\Z = 26 + 9\,\Z$ et manifestement, $8$ et $26$ sont distincts.
P.S. Impardonnable, j'ai omis "Bonjour "
Dernière modification par Bruno le mardi 21 août 2007, 07:43, modifié 1 fois.
je suis désolé j'ai fait une petite erreur
Merci pour vos réponses néanmoins...
En réalité dans l'exercice $a $et $b$ ne sont pas quelconques. Ils sont choisis au départ (axiome du choix) en tant que représentant d'une classe d'équivalence. On considère donc la classe $aH$ et la classe $bH$.
Comme il s'ensuit que les classes d'équivalence ne sont pas disjointes alors $aH=bH$ ce qui entraine $a=b$ .
Sous groupe distingué cela ne me dit rien... Il s'agissait de montrer la propriété suivante :
Soit $K$ et $H$ deux sous groupes de $G$ tels que $K \subset H \subset G$. On suppose l'indice de $G$ modulo $K$ définit (donc le nombre de classe d'équivalence pour la relation $x \sim y$ ssi $x^-^1y \in K$ est fini) noté $(G:K)$ et on a $(G:K)=(G:H)(H:K)$
Désolé pour le dérangement^^
Merci pour vos réponses néanmoins...
En réalité dans l'exercice $a $et $b$ ne sont pas quelconques. Ils sont choisis au départ (axiome du choix) en tant que représentant d'une classe d'équivalence. On considère donc la classe $aH$ et la classe $bH$.
Comme il s'ensuit que les classes d'équivalence ne sont pas disjointes alors $aH=bH$ ce qui entraine $a=b$ .
Sous groupe distingué cela ne me dit rien... Il s'agissait de montrer la propriété suivante :
Soit $K$ et $H$ deux sous groupes de $G$ tels que $K \subset H \subset G$. On suppose l'indice de $G$ modulo $K$ définit (donc le nombre de classe d'équivalence pour la relation $x \sim y$ ssi $x^-^1y \in K$ est fini) noté $(G:K)$ et on a $(G:K)=(G:H)(H:K)$
Désolé pour le dérangement^^
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