[TS] Récurrence ?
[TS] Récurrence ?
Bonjour c'est mon premier message et la premiere fois que j'utilise le logiciel Latex je vais essayer de ne pas faire d'erreur lors de son utilisation mais je ne promet rien alors voici mon probleme :
Montrer que pour tout $n \in \N$ :
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
J'ai tout d'abord pensé a proceder par récurrence mais je n'arrive a le demontrer ainsi .
Je vous remercie d'avance de votre aide
Montrer que pour tout $n \in \N$ :
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
J'ai tout d'abord pensé a proceder par récurrence mais je n'arrive a le demontrer ainsi .
Je vous remercie d'avance de votre aide
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:50, modifié 1 fois.
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Re: [TS]RECURRENCE ?
Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.
Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer !
Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer !
Re: [TS]RECURRENCE ?
Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :
$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$
$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$
Re: [TS]RECURRENCE ?
Justement c'est là que je coince .Je ne troue pas ce satané denominateur communFrançois D. a écrit :Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.
Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer !
Re: [TS]RECURRENCE ?
Pin a écrit :Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :
$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$
Je ne vois pas comment faire en utilisant ta méthode ?
Pourrais-tu développer un peu plus ?
Re: [TS] Récurrence ?
Combien y-a-t-il de termes dans ta somme de départ ?
Re: [TS] Récurrence ?
Ecris l'inégalité que je t'ai donnée pour les différentes valeurs $k$ et essaie de les sommer.
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Re: [TS] Récurrence ?
Il y a bien une somme, non ?TakTak a écrit :$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: [TS] Récurrence ?
Avec l'indication de Pin te permettant de minorer chaque terme, si tu sais compter le nombre de termes de ta somme de départ (tu dois montrer, je te rappelle : $\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $), tu devrais pouvoir montrer l'inégalité souhaitée
Re: [TS] Récurrence ?
Okkkkkkk
il y a donc $2^n$ termes
il y a donc $2^n$ termes
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:33, modifié 2 fois.
Re: [TS] Récurrence ?
et ensuite on trouve :$$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \left(\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)^{2n}$$
et comment prouver que
$(\dfrac{1}{2^{n+1}})^{2n}\ge 1\2$
et comment prouver que
$(\dfrac{1}{2^{n+1}})^{2n}\ge 1\2$
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:47, modifié 2 fois.
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Re: [TS] Récurrence ?
Hem, hem : la somme se transforme donc en un exposant
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Un peu d'autopromotion.
Re: [TS] Récurrence ?
arf j'avais pas vu le dos de la feuille
et la je bloque totale
On définit $S=\ds\sum_{k=1}^\infty(\dfrac{1}{k})$
En décomposant habilement S, en déduire que $S = +\infty$
Je précise qu'il faut utiliser la relation étalie précedement a savoir :
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
et la je bloque totale
On définit $S=\ds\sum_{k=1}^\infty(\dfrac{1}{k})$
En décomposant habilement S, en déduire que $S = +\infty$
Je précise qu'il faut utiliser la relation étalie précedement a savoir :
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
Re: [TS] Récurrence ?
hum je pense avoir trouvé commment décomposer S :
$S_n=1+ 1/2+\ds\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k}}$
$S_n=1+ 1/2+\ds\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k}}$
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Re: [TS] Récurrence ?
Je pense que ta décomposition n'est pas correcte de plus je ne vois pas comment elle te permettrait de conclure.
Mais l'idée d'utiliser l'égalité que tu as indiqué est bonne je pense.
Mais l'idée d'utiliser l'égalité que tu as indiqué est bonne je pense.
Re: [TS] Récurrence ?
En effet elle est fausse.
D'ailleurs l'ayant remarqué je voulais supprimer le message et je penser l'avoir fait mais bizarrement il est toujours la.
D'ailleurs l'ayant remarqué je voulais supprimer le message et je penser l'avoir fait mais bizarrement il est toujours la.
Re: [TS] Récurrence ?
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}}$
comment est-ce que je pourrais simplifier par simplifier je veux dire le mettre sous forme de somme ou autre
comment est-ce que je pourrais simplifier par simplifier je veux dire le mettre sous forme de somme ou autre