[TS] Récurrence ?

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TakTak

[TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

Bonjour c'est mon premier message et la premiere fois que j'utilise le logiciel Latex je vais essayer de ne pas faire d'erreur lors de son utilisation mais je ne promet rien alors voici mon probleme :
Montrer que pour tout $n \in \N$ :


$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $


J'ai tout d'abord pensé a proceder par récurrence mais je n'arrive a le demontrer ainsi .

Je vous remercie d'avance de votre aide
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:50, modifié 1 fois.
François D.
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Re: [TS]RECURRENCE ?

Message non lu par François D. »

Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.

Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer :wink: !
Nipin

Re: [TS]RECURRENCE ?

Message non lu par Nipin »

Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :

$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$
TakTak

Re: [TS]RECURRENCE ?

Message non lu par TakTak »

François D. a écrit :Une récurrence menée prudemment devrait aboutir, je pense.

Cela dit, l'argument principal consiste je crois à trouver un minorant commun et constant à tous les $\dfrac{1}{2^n+k}$ ($k$ allant de $1$ à $2^n$) ... à toi de jouer :wink: !
Justement c'est là que je coince .Je ne troue pas ce satané denominateur commun
TakTak

Re: [TS]RECURRENCE ?

Message non lu par TakTak »

Pin a écrit :Une récurrence est-elle vraiment utile ? Ne peut-on pas s'en sortir en utisant le fait que, pour tout entier naturel $n$ et tout entier $k \in [1,2^n]$ :

$\dfrac{1}{2^n + k} \geqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$

Je ne vois pas comment faire en utilisant ta méthode ?
Pourrais-tu développer un peu plus ?
lafayette
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Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par lafayette »

Combien y-a-t-il de termes dans ta somme de départ ?
TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

De quel somme de départ parles-tu
je ne comprend pas
Nipin

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par Nipin »

Ecris l'inégalité que je t'ai donnée pour les différentes valeurs $k$ et essaie de les sommer.
guiguiche
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Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par guiguiche »

TakTak a écrit :$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
Il y a bien une somme, non ?
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Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
lafayette
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Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par lafayette »

Avec l'indication de Pin te permettant de minorer chaque terme, si tu sais compter le nombre de termes de ta somme de départ (tu dois montrer, je te rappelle : $\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $), tu devrais pouvoir montrer l'inégalité souhaitée
TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

Okkkkkkk

il y a donc $2^n$ termes
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:33, modifié 2 fois.
Nipin

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par Nipin »

tout à fait !
TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

et ensuite on trouve :$$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \left(\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)^{2n}$$

et comment prouver que
$(\dfrac{1}{2^{n+1}})^{2n}\ge 1\2$
Dernière modification par TakTak le dimanche 02 septembre 2007, 21:47, modifié 2 fois.
guiguiche
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Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par guiguiche »

Hem, hem : la somme se transforme donc en un exposant :shock:
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TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

oh le boulet
quel erreur
merci
exo résolu
TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

arf j'avais pas vu le dos de la feuille

et la je bloque totale

On définit $S=\ds\sum_{k=1}^\infty(\dfrac{1}{k})$

En décomposant habilement S, en déduire que $S = +\infty$

Je précise qu'il faut utiliser la relation étalie précedement a savoir :
$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}} \ge \dfrac{1}{2} $
TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

hum je pense avoir trouvé commment décomposer S :

$S_n=1+ 1/2+\ds\sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{2^{k}}$
MB
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Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par MB »

Je pense que ta décomposition n'est pas correcte de plus je ne vois pas comment elle te permettrait de conclure.
Mais l'idée d'utiliser l'égalité que tu as indiqué est bonne je pense.
MB. (rejoignez pCloud et bénéficiez de 10Go de stockage en ligne gratuits)
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TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

En effet elle est fausse.
D'ailleurs l'ayant remarqué je voulais supprimer le message et je penser l'avoir fait mais bizarrement il est toujours la.
TakTak

Re: [TS] Récurrence ?

Message non lu par TakTak »

$\dfrac{1}{2^n+1} + \dfrac{1}{2^n+2} + \dfrac{1}{2^n+3} +... +\dfrac{1}{2^{n+1}}$
comment est-ce que je pourrais simplifier par simplifier je veux dire le mettre sous forme de somme ou autre
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