Sur le théorème de Fubini
Sur le théorème de Fubini
Bonjour, Je sais que le théorème de Fubini me permet d'intervertir deux integrales si les fonctions dedans sont dans $L^{1}(R\times[-1,1])$, est ce que je peut faire la même chose si mes fonctions sont dans $L^{2}(R\times[-1,1])$?
Si on ne peut pas le faire, comment fairais-je pour intervertir les deux integrales suivantes:
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt}$$
où $c$ est un réel strictement positif et $\varphi\in{L^{2}(R)}$.
J'ai besoin d'intervertir ces deux integrales? comment le justifier
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni
Si on ne peut pas le faire, comment fairais-je pour intervertir les deux integrales suivantes:
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt}$$
où $c$ est un réel strictement positif et $\varphi\in{L^{2}(R)}$.
J'ai besoin d'intervertir ces deux integrales? comment le justifier
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni
A priori ta fonction n'est pas dans $L^2(\R\times[-1,1])$
Je pense qu'on ne peut pas utiliser le théorème de Fubini directement dans ton cas.
Essaie plutôt d'utiliser une méthode analogue à la formule d'inversion de la transformée de Fourier, en utilisant la convolution par une approximation de l'unité à décroissance rapide.
Mais que veux-tu faire exactement ?
Je pense qu'on ne peut pas utiliser le théorème de Fubini directement dans ton cas.
Essaie plutôt d'utiliser une méthode analogue à la formule d'inversion de la transformée de Fourier, en utilisant la convolution par une approximation de l'unité à décroissance rapide.
Mais que veux-tu faire exactement ?
désolé, j'avais lu trop vitemoumni a écrit :Merci bien pour vos réponses primaux.
@ Sotwafits: SI SI ma fonction
$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$
est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$
Je pensais $L^2(\R\times\R)$
Mais vu que $[-1,1]$ est borné et que $\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}$ est bornée indépendamment de $t$ et $x$, il n'y a pas de problème
Puisque ma fonction
$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$
est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$
Comment pourrais-je justifier la permutaion des deux integrales suivantes
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt}$$
où $c$ est un réel strictement positif et $\varphi\in{L^{2}(R)}$.
$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$
est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$
Comment pourrais-je justifier la permutaion des deux integrales suivantes
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt}$$
où $c$ est un réel strictement positif et $\varphi\in{L^{2}(R)}$.
Bon, essayons avec $\alpha>0$ fixé comme tu l'as dit:
Puisque ma fonction
$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$
est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$ et par suite elle
est dans $L^{1}([-\alpha,\alpha]\times[-1,1])$ donc en utlisant le théorème de Fubini on peut écrire
$$\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt=$$
$$\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx$$
et puis je passe à la limite sur $\alpha\rightarrow{+\infty}$ j'aurais
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt=}$$
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx}$$
Ma nouvelle question est:
Comment pourais-je justifier la permutation entre les deux signes integrale et limite pour avoir finalement le résultat
$$\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx$$
Merci bien davantage pour l'aide
amicalement
Moumni
Puisque ma fonction
$$(t,x)\rightarrow\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}\right)e^{-iwt}$$
est dans $L^{2}(R\times[-1,1])$ et par suite elle
est dans $L^{1}([-\alpha,\alpha]\times[-1,1])$ donc en utlisant le théorème de Fubini on peut écrire
$$\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt=$$
$$\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx$$
et puis je passe à la limite sur $\alpha\rightarrow{+\infty}$ j'aurais
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\left(\int_{-1}^{1}\varphi(x)\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}dx\right)e^{-iwt}dt=}$$
$$\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx}$$
Ma nouvelle question est:
Comment pourais-je justifier la permutation entre les deux signes integrale et limite pour avoir finalement le résultat
$$\int_{-1}^{1}\varphi(x)\left(\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow{+\infty}}}\int_{-\alpha}^{\alpha}\frac{\sin(c(t-x))}{\pi(t-x)}e^{-iwt}dt\right)dx$$
Merci bien davantage pour l'aide
amicalement
Moumni
Je m'excuse, je ne comprends exactement de quoi vous parler lorsque vous dites
"faire une convolution par une approximation de l'unité à décroissance rapide (gaussienne par exemple). "
Je vais convoler quoi par cette approximation de l'unité à décroissance rapide que je connais pas même,
Merci bien davantage pour eclaircir ces points
Amicalement
Moumni
"faire une convolution par une approximation de l'unité à décroissance rapide (gaussienne par exemple). "
Je vais convoler quoi par cette approximation de l'unité à décroissance rapide que je connais pas même,
Merci bien davantage pour eclaircir ces points
Amicalement
Moumni
Ton problème ressemble à la démonstration de la formule d'inversion de Fourier $f(x)=\ds\int_\R \hat f(\xi)e^{ix\xi}d\xi$, qui se montre en utilisant la convolution par une approximation de l'unité (c'est à dire une famille de fonctions qui tend vers un dirac).
J'ai oublié le détail (je vais m'y replonger aujourd'hui si j'ai le temps).
J'ai oublié le détail (je vais m'y replonger aujourd'hui si j'ai le temps).
voila mon problème:
Je me donne la fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ définie par:
$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$
ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
Mon problème est de calculer la transformée de Fourier de $\varphi_{n,c}$.
Et voila ce que j'ai fait et ou est ce que je suis coincé:
$\varphi_{n,c}\in L^{2}(\mathbb{R})$ donc sa transformee de Fourier est
donnee par:
$$\hat{\varphi}_{n,c}(w)=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\varphi_{n,c}(t)e^{-iwt}dt}$$
$$=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\left[\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dx\right]e^{-iwt}dt}$$
$$=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{-\alpha}\left[\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dx\right]e^{-iwt}dt}
$$
Or la fonction $$(t,x)\longrightarrow
\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)e^{-iwt}\:\:\:\in
L^{2}(\mathbb{R}\times[-1,1])$$ Donc d'apres le théorème de Fubini, on
peut intervertir les deux intégrales de la dernière
éegalité et ainsi on aura:
$$\hat{\varphi}_{n,c}(w)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\left(\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)e^{-iwt}dt}\right)dx$$
Or vous m'avez dit que je ne peux pas justifier la permutation des deus untégrales par le théorème de Fubini car mes fonctions ne sont pas dans $L^1$.
Comment fairais-je donc pour justifier cette permutation.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni
Je me donne la fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ définie par:
$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$
ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
Mon problème est de calculer la transformée de Fourier de $\varphi_{n,c}$.
Et voila ce que j'ai fait et ou est ce que je suis coincé:
$\varphi_{n,c}\in L^{2}(\mathbb{R})$ donc sa transformee de Fourier est
donnee par:
$$\hat{\varphi}_{n,c}(w)=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\varphi_{n,c}(t)e^{-iwt}dt}$$
$$=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\left[\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dx\right]e^{-iwt}dt}$$
$$=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{-\alpha}\left[\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dx\right]e^{-iwt}dt}
$$
Or la fonction $$(t,x)\longrightarrow
\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)e^{-iwt}\:\:\:\in
L^{2}(\mathbb{R}\times[-1,1])$$ Donc d'apres le théorème de Fubini, on
peut intervertir les deux intégrales de la dernière
éegalité et ainsi on aura:
$$\hat{\varphi}_{n,c}(w)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\left(\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow +\infty}\int_{-\alpha}^{+\alpha}\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)e^{-iwt}dt}\right)dx$$
Or vous m'avez dit que je ne peux pas justifier la permutation des deus untégrales par le théorème de Fubini car mes fonctions ne sont pas dans $L^1$.
Comment fairais-je donc pour justifier cette permutation.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Moumni
Je ne comprends pas ta définition de $\varphi_{n,c}(x)$ : elle se définit à partir d'elle-même.moumni a écrit :voila mon problème:
Je me donne la fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ définie par:
$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(x)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$
ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
L'intégrale est par rapport à $t$, donc on peut sortir $\varphi_{n,c}(x)$ de l'intégrale ??
Sinon, une idée pour ton problème : essaie de montrer l'interversion intégrale/limite dans le cas où $\varphi_{n,c}$ est ${\cal C}^\infty$ à support compact, et utilise la densité de ces fonctions dans $L^2$
Je m'excuse, je me suis trompé, au lieu de taper t j'ai tapé x, voila la bonne définition de $\varphi_{n,c}$
La fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ est définie par:
$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(t)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$
ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
En d'autres termes: La fonction $\varphi_{n,c}$ est une fonction propre de l'opérateur intégrale dont le noyau est la fonction $\rho$.
Je m'excuse une autre fois pour cette faute de frappe
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
moumni
La fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ est définie par:
$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(t)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$
ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
En d'autres termes: La fonction $\varphi_{n,c}$ est une fonction propre de l'opérateur intégrale dont le noyau est la fonction $\rho$.
Je m'excuse une autre fois pour cette faute de frappe
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
moumni
OK, je comprends mieuxmoumni a écrit :Je m'excuse, je me suis trompé, au lieu de taper t j'ai tapé x, voila la bonne définition de $\varphi_{n,c}$
La fonction$\varphi_{n,c}\in{L^{2}(R)}$ est définie par:
$$\varphi_{n,c}(x)=\frac{c}{\pi\lambda_{n}(c)}\int_{-1}^{1}\varphi_{n,c}(t)\rho\left(\frac{c}{\pi}(t-x)\right)dt$$
ou $\rho(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ et $c$ et $\lambda_{n}(c)$ sont des constantes.
En d'autres termes: La fonction $\varphi_{n,c}$ est une fonction propre de l'opérateur intégrale dont le noyau est la fonction $\rho$.
Donc on peut écrire :
$\varphi_{n,c}(x)=\dfrac{c}{\pi\lambda_n(c)}\ds\int_\R \varphi_{n,c}(t)1_{[-1,1]}(t)\rho(\frac c\pi(t-x))\,dt$
On a donc $\varphi_{n,c}=\dfrac{c}{\pi\lambda_n(c)}\bigl(\varphi_{n,c} \times 1_{[-1,1]}\bigr)*\rho\left(\frac c\pi\cdot\right)$ : peut-être que ça peut t'aider ?
$\times$ désigne la multiplication
$*$ désigne la convolution
$1_{[-1,1]}$ désigne la fonction caractéristique de $[-1,1]$
$\rho\left(\frac c\pi\cdot\right)$ désigne la fonction $t\longmapsto \rho\left(\frac c\pi t\right)$
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Bon vous m'arrêtez tout de suite si je dis une bêtise mais si tu considères le compact [-1, +1] x [-1, +1]. Une fonction $L^{2}$ sera automatiquement $L^{1}$.
Car sur un compact $1\le{}p\le{}q\le{}\infty\Rightarrow{}L^{q}\subset{}L^{p}$ c'est une conséquence de l'inégalité de Hölder. D'ailleurs dans ce cas précis, c'est même une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schartz.
Car sur un compact $1\le{}p\le{}q\le{}\infty\Rightarrow{}L^{q}\subset{}L^{p}$ c'est une conséquence de l'inégalité de Hölder. D'ailleurs dans ce cas précis, c'est même une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schartz.
Dernière modification par kilébo le mercredi 26 avril 2006, 00:01, modifié 1 fois.
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