Dérivée norme de f
Dérivée norme de f
Bonjour,
J'aimerais savoir si quelqu'un pourrais m'aider à démarrer dans cet exercice :
$\vec{f}$ est une fonction vectorielle, dérivable en a et $\vec{f}(a)\ne0$
Il faut démontrer qu'alors $||\vec{f}||$ est dérivable en a et déterminer $||\vec{f}||'(a)$ (avec les fonctions coordonnées et sans).
J'ai écrit la définition de la dérivée : $\vec{f}'(a) = \ds\lim(\frac{\vec{f}(t)-\vec{f}(a)}{t-a})$
Merci d'avance pour votre aide.
J'aimerais savoir si quelqu'un pourrais m'aider à démarrer dans cet exercice :
$\vec{f}$ est une fonction vectorielle, dérivable en a et $\vec{f}(a)\ne0$
Il faut démontrer qu'alors $||\vec{f}||$ est dérivable en a et déterminer $||\vec{f}||'(a)$ (avec les fonctions coordonnées et sans).
J'ai écrit la définition de la dérivée : $\vec{f}'(a) = \ds\lim(\frac{\vec{f}(t)-\vec{f}(a)}{t-a})$
Merci d'avance pour votre aide.
Re: Dérivée norme de f
Bonjour,
As-tu appris à différentier l'application $x \longrightarrow < x,x > $ ? Si c'est le cas je peux te proposer une méthode tres rapide pour répondre à ta question.
As-tu appris à différentier l'application $x \longrightarrow < x,x > $ ? Si c'est le cas je peux te proposer une méthode tres rapide pour répondre à ta question.
Re: Dérivée norme de f
Bonjour,
tu peux commencer par trouver la différentielle de $x\to ||x||$ en un point $x\neq 0$... ($||x||=\sqrt{<x,x>}$)
[EDIT] Bonjour, DarkForest
tu peux commencer par trouver la différentielle de $x\to ||x||$ en un point $x\neq 0$... ($||x||=\sqrt{<x,x>}$)
[EDIT] Bonjour, DarkForest
Re: Dérivée norme de f
Bonsoir,
Merci pour vos réponses, mais je n'ai pas encore les différentielles!
Connaissez vous une autre méthode?
Cordialement.
Merci pour vos réponses, mais je n'ai pas encore les différentielles!
Connaissez vous une autre méthode?
Cordialement.
Re: Dérivée norme de f
Bonjour,
si tu écris que $||\vec{f}(t)||^2=\vec{f}(t).\vec{f}(t)$ et que tu dérives de chaque côté, tu as directement ton résultat, non
Quelle est la dérivée du membre de gauche de droite et comme en $a$ , $\vec{f}(a)\neq0$, tu conclus.
si tu écris que $||\vec{f}(t)||^2=\vec{f}(t).\vec{f}(t)$ et que tu dérives de chaque côté, tu as directement ton résultat, non
Quelle est la dérivée du membre de gauche de droite et comme en $a$ , $\vec{f}(a)\neq0$, tu conclus.
Pas d'aide par MP.
Re: Dérivée norme de f
Merci, mais pour le membre de gauche, c'est justement celui qu'on cherche, peut-on donc dire que la dérivée de f(t)*f(t) est égale au carrée de la dérivée de la norme de f ?
Re: Dérivée norme de f
Ben oui, 2 fonctions égales ont leur dérivée égale, mais la réciproque est fausse..
donc la dérivée de gauche est $2||f(t)||\times \left(||f(t)||\right)'$ (dérivée de $u^2$ qui est $2uu'$) et à droite ça donne $2\vec{f}(t).\vec{f'}(t)$, et donc en $a$, tel que $||f(a)||\neq 0$, tu as ton résultat....
donc la dérivée de gauche est $2||f(t)||\times \left(||f(t)||\right)'$ (dérivée de $u^2$ qui est $2uu'$) et à droite ça donne $2\vec{f}(t).\vec{f'}(t)$, et donc en $a$, tel que $||f(a)||\neq 0$, tu as ton résultat....
Pas d'aide par MP.
Re: Dérivée norme de f
d'accord merci.
Mais après puisqu'on veut juste (||f(a)||)' on aura une racine carrée pour le résultat?
Mais après puisqu'on veut juste (||f(a)||)' on aura une racine carrée pour le résultat?
Re: Dérivée norme de f
bonjour,
Je ne suis pas certain que tu aies bien lu ce que j'ai écrit En dérivant ma relation, on a alors :
$2||f(t)||\times \left(||f(t)||\right)'=2\vec{f}(t).\vec{f'}(t)$ et là, je ne vois pas de racine carrée
Euh....Didou36 a écrit : Mais après puisqu'on veut juste (||f(a)||)' on aura une racine carrée pour le résultat?
Je ne suis pas certain que tu aies bien lu ce que j'ai écrit En dérivant ma relation, on a alors :
$2||f(t)||\times \left(||f(t)||\right)'=2\vec{f}(t).\vec{f'}(t)$ et là, je ne vois pas de racine carrée
Pas d'aide par MP.
Re: Dérivée norme de f
Bonsoir :
Ce qu'on fait cette année pour calculer la differentielle d'une application d'un espace vectoriel dans un espace vectoriel est qu'on essaye de trouver une application linéaire linéaire continue de $\ E $ dans $\ F $ tel que : $\ f(x+h) - f(x) = L(h) + o(||h||) $.
Donc, tu as l'expression de $\ f $ c'est la racine carré du produit scalaire qui est une application bilinéaire ( une deuxième methode consiste d'utiliser une decomposition en deux applications differentiables ici la l'application racine carré et l'application bilinéaire produit scalaire ) , tu calcules $\ f(x+h) - f(x) $ tu trouveras $\ L(h) $ et $\ o(||h||) $. essaye et tu verras, on fait toujours comme ça !! ensuite montre que c'est une application linéaire continue !! et voilà c'est la differentielle en $\ x $ !! et ceçi pour tout x dans l'ensemble de depart !! donc c'est la differentielle ! voilà !!
Ce qu'on fait cette année pour calculer la differentielle d'une application d'un espace vectoriel dans un espace vectoriel est qu'on essaye de trouver une application linéaire linéaire continue de $\ E $ dans $\ F $ tel que : $\ f(x+h) - f(x) = L(h) + o(||h||) $.
Donc, tu as l'expression de $\ f $ c'est la racine carré du produit scalaire qui est une application bilinéaire ( une deuxième methode consiste d'utiliser une decomposition en deux applications differentiables ici la l'application racine carré et l'application bilinéaire produit scalaire ) , tu calcules $\ f(x+h) - f(x) $ tu trouveras $\ L(h) $ et $\ o(||h||) $. essaye et tu verras, on fait toujours comme ça !! ensuite montre que c'est une application linéaire continue !! et voilà c'est la differentielle en $\ x $ !! et ceçi pour tout x dans l'ensemble de depart !! donc c'est la differentielle ! voilà !!