Comment dois je débuter?Il s'agit d'etudier la nature de la série suivante :
$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1}$
Etude de la nature d'une série (exo 4)
Etude de la nature d'une série (exo 4)
Bonjour à tous
Re: etude de la nature d'une série exo 4
Bonjour, tout d'abord:
pour obtenir $\ds \sqrt[n]{x}$.
Je n'ai pas essayé de le résoudre mais je pense qu'il faut utiliser une méthode qui donne souvent de très bons résultats: factoriser par le terme dominant.
Code : Tout sélectionner
\sqrt[n]{x}
Je n'ai pas essayé de le résoudre mais je pense qu'il faut utiliser une méthode qui donne souvent de très bons résultats: factoriser par le terme dominant.
Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Bonjour,
Tu peux aussi te dire que, comme on aimerait bien soustraire ce qu'il y a sous la racine, on peut utilser la relation. $a^3 - b^3 =(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Est-ce que tu vois comment exploiter ça ici ?
Tu peux aussi te dire que, comme on aimerait bien soustraire ce qu'il y a sous la racine, on peut utilser la relation. $a^3 - b^3 =(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Est-ce que tu vois comment exploiter ça ici ?
Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Non pas trop
Je pensais qu'il fallait mettre sous une forme pour exploiter Cauchy
Je pensais qu'il fallait mettre sous une forme pour exploiter Cauchy
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Tu peux essayer d'utiliser la formule suggérée par Juan: $a^3 - b^3 =(a-b)(a^2+ab+b^2)$
avec $a=\sqrt[3]{n^3+2}$ et $b=\sqrt[3]{n^3+1}$
avec $a=\sqrt[3]{n^3+2}$ et $b=\sqrt[3]{n^3+1}$
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Bonsoir,
Moi je verrais bien un petit développement limité après avoir sorti de la racine le $n^3$, c'est à dire le $n$, et donc il faut un développement limité de $(1+x)^\frac{1}{3}$ au voisinage de $x=0$ en posant $x=\dfrac{1}{n}$ et ensuite un équivalent, et hop le tour est joué
Moi je verrais bien un petit développement limité après avoir sorti de la racine le $n^3$, c'est à dire le $n$, et donc il faut un développement limité de $(1+x)^\frac{1}{3}$ au voisinage de $x=0$ en posant $x=\dfrac{1}{n}$ et ensuite un équivalent, et hop le tour est joué
Pas d'aide par MP.
Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Bonsoir tout le monde
J'essaie par la factorisation
$\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}$ et je coince pouvez vous m'aider
J'essaie par la factorisation
$\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}$ et je coince pouvez vous m'aider
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Elle est où la factorisation (Note aux glands : aucun commentaire) ?
tu mets $n^3$ en facteur dans $n^3 + 2$, ça donne ?
tu mets $n^3$ en facteur dans $n^3 + 2$, ça donne ?
Pas de questions en MP
La calculatrice, c'est comme Linux, c'est de la merde !
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Salut Tryphon
$(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3} = n^3(n^2+2n^{-3})^{\frac{1}{3}}-(n^3+1)^\frac{1}{3}$
$(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3} = n^3(n^2+2n^{-3})^{\frac{1}{3}}-(n^3+1)^\frac{1}{3}$
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Occupe-toi juste du $n^3 + 2$ pour l'instant, on verra l'autre plus tard.
Il est faux. Commence par $n^3 + 2$, puis $\sqrt[3]{n^3 + 2}$.
Il est faux. Commence par $n^3 + 2$, puis $\sqrt[3]{n^3 + 2}$.
Pas de questions en MP
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})$
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Ah ben non, pas ici.Tryphon a écrit :(Note aux glands : aucun commentaire) ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Oui maintenant il ne te reste plus qu'à prendre la racine cubique et à faire le DL...celtic a écrit :$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})$
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})\rightarrow n \sqrt[3]{(1+2n^{-3})}$
Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$
Si correcte je continue comment
Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$
Si correcte je continue comment
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Il ne te reste plus qu'à utiliser ta formule pour $\alpha=\frac{1}{3}$ et à l'ordre 1, cela suffit...
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3})\rightarrow n \sqrt[3]{(1+2n^{-3})}$
Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$
$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3} )\rightarrow n \sqrt[3]{(1+2n^{-3})}=1+ \dfrac{2n^{-3}}{3}+\dfrac{\frac{1}{3}-n+1}{n!}$
Si je fait $n=1$
$\dfrac{2n^{-3}}{3}+\dfrac{\frac{1}{3}-n+1}{n!}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}$
Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$
$(n^3+2)=n^3(1+2n^{-3} )\rightarrow n \sqrt[3]{(1+2n^{-3})}=1+ \dfrac{2n^{-3}}{3}+\dfrac{\frac{1}{3}-n+1}{n!}$
Si je fait $n=1$
$\dfrac{2n^{-3}}{3}+\dfrac{\frac{1}{3}-n+1}{n!}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}$
Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
bonjour Celtic,
tu as seulement besoin de $(1+x)^\alpha=1+\alpha x +o(x)$
donc $(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}}=1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3})+o(n^{-3})$ ici $x=2n^{-3}$
tu fais pareil pour l'autre morceau $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$ et tu fais la différence, etc.
ceci n'est pas bon...celtic a écrit :
Pour la DL, j'ai$(1+x)^\alpha=1+x\alpha+\dfrac{(\alpha-n+1).}{n!}+0(x_n)$
tu as seulement besoin de $(1+x)^\alpha=1+\alpha x +o(x)$
donc $(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}}=1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3})+o(n^{-3})$ ici $x=2n^{-3}$
tu fais pareil pour l'autre morceau $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$ et tu fais la différence, etc.
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Bonsoir à tous
Je reprends l'exo avec pas mal de retard
$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n^3(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n^3(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$
($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$
en faisant la différence $\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$
$u_n=\dfrac{1}{3}$ la série converge
Je reprends l'exo avec pas mal de retard
$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n^3(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n^3(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$
($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$
en faisant la différence $\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$
$u_n=\dfrac{1}{3}$ la série converge
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
tes DL sont bons mais il y a une erreur ici: $(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n^3(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n^3(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$celtic a écrit :Bonsoir à tous
Je reprends l'exo avec pas mal de retard
$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n^3(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n^3(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$
($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$
en faisant la différence $\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$
$u_n=\dfrac{1}{3}$ la série converge
C'est plutôt $(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$ puisque $(n^3)^\frac{1}{3}=n$
Ensuite tu utilises tes DL sans oublier de les multiplier par le facteur $n$...
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Re: Etude de la nature d'une série (exo 4)
Bonjour à tous
$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$
($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$
Je fait la différence
$\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$
$u_n=n\dfrac{1}{3}n^{-3} =\dfrac{1}{n^2}$ par conséquent d'apres le critére de Rienmann la série converge
$u_n=\sqrt[3]{n^3+2}-\sqrt[3]{n^3+1} =(n^3+2)^\frac{1}{3}-(n^3+1)^\frac{1}{3}=n(1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} -n(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}}$
($1+2n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (2n^{-3}) +o(n^{-3})$ et $(1+n^{-3})^{\frac{1}{3}} =1+\dfrac{1}{3} (n^{-3}) +o(n^{-3})$
Je fait la différence
$\dfrac{1}{3} (2n^{-3})-\dfrac{1}{3} (n^{-3})=\dfrac{1}{3}n^{-3}$
$u_n=n\dfrac{1}{3}n^{-3} =\dfrac{1}{n^2}$ par conséquent d'apres le critére de Rienmann la série converge
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