[TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Aide à la résolution d'exercices de mathématiques de tout niveau scolaire.
[participation réservée aux utilisateurs inscrits]
Règles du forum
Merci de soigner la rédaction de vos messages et de consulter ce sujet avant de poster. Pensez également à utiliser la fonction recherche du forum.
Yumeno

[TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Message non lu par Yumeno »

Bonsoir à tous !
Le problème de maths que j'ai à résoudre comporte pas mal de réflexion par rapport à des fonctions sans véritable support, puisque c'est assez littéral, et je n'aime pas du tout ça quand on traite de fonctions... C'est pour cela que j'ai besoin de votre aide ! Voici l'énoncé et quelques commentaires sur ce que j'ai déjà fait de l'exercice.

Le but de ce problème est de déterminer selon les valeurs de l'entier naturel non nul $n$, le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation (E) : $x^n = e^x$.
On note $f_n$ la fonction définie sur $\R$ par $f_n(x) = x^ne^{-x}$ et $C_n$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$.

A. Etude d'une famille de fonctions
1. Dans cette question, $n = 1$. Dressez le tableau de variations de $f_1 : x \rightarrow xe^{-x}$ et construisez $C_1$. Ca, c'est fait.
2. Dans cette question, $n$ est supérieur ou égal à 2.
Etudiez les variations de $f_n$ ainsi que ses limites en $+ \infty$ et en $- \infty$ lorsque :
- $n$ est pair ;
- $n$ est impair.
Dans chaque cas, dressez le tableau de variations de la fonction $f_n$. Alors là, j'ai l'impression de me trouver devant un chemin sans fin. Entre $x$ négatif ou positif, $n$ pair ou impair... Je me dis qu'il y a une infinité de possibilités, je suis complètement perdu... A l'aide !
3. Comparez les positions relatives de $C_n$ et $C_{n+1}$ sur $[0 ; + \infty[$ et celles de $C_n$ et $C_{n+2}$ sur $]- \infty ; 0]$. Je pense que je devrais trouver une fois la question 2. résolue.

B. Résolution de l'équation (E)
1. Pourquoi l'équation (E) est-elle équivalente à $f_n(x) = 1$ ? C'est bon pour cette question.
2. A partir des tableaux de variations de la question A. 2., justifiez l'affirmation suivante : "déterminer le nombre de solutions de l'équation $f_n(x) = 1$ revient à comparer 1 et $f_n(n) = \dfrac{n^n}{e^n}$. Peut-être que ça irait mieux une fois la question mentionnée résolue, mais je n'en suis pas sûr du tout ! Vérifiez ensuite que $f_n(n) = e^{n ln(n) - n}$. Pour ça, c'est bon.
3. On note $g$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$ par : $g(x) = e^{x ln(x) - x}$. Etudiez les variations de $g$ ainsi que ses limites en $+ \infty$ et en zéro. Dressez le tableau de variations de $g$. C'est fait aussi.
4. Déterminez selon les valeurs de $n$, le nombre de solutions dans $\R$ de l'équation (E). Alors ça, c'est le coup de grâce, si j'ose dire... Je ne vois pas du tout comment résoudre cette question à ce moment de l'exercice, et j'imagine qu'il faut de toute façon avoir résolu la question A. 2. qui me pose véritablement problème pour esquisser la réponse...

Voilà, désolé si c'est un peu long, mais j'ai pensé qu'il vous serait utile de voir comment l'exercice évoluait... En tout cas, je vous remercie d'avance pour votre aide ! Bonne soirée.
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8191
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans
Contact :

Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Message non lu par guiguiche »

A2. Pose $n=2k$ (cas pair) puis $n=2k+1$ (cas impair) pour l'étude des variations.
A3. Pas besoin de faire A2. Il suffit d'étudier le signe de $f_{n+1)(x)-f_n(x)$ en fonction des valeurs de $x$.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Yumeno

Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Message non lu par Yumeno »

Merci pour votre réponse !

J'ai juste fait le cas pair pour ce soir.

En posant $n = 2k, k \in \N*$ ($n$ étant un entier naturel non nul), j'obtiens la fonction suivante : $f_n(x) = x^{2k}e^{-x}$. Je la dérive, et j'obtiens $f'_n(x) = e^{-x}x^{2k-1} (- x + 2k)$. L'exponentielle étant toujours strictement positive, cette dérivée s'annule si $x = 0$ ou si $x = 2k$. Ainsi, si $x \in ]- \infty ; 0]$, $2k-1$ étant impair, la dérivée est négative, donc la fonction $f_n$ décroissante sur cet intervalle. Entre $0$ et $2k$, elle est positive (les deux facteurs l'étant), la fonction $f_n$ est ainsi croissante, et sur $[2k ; + \infty]$, le facteur $(- x + 2k)$ étant négatif, la dérivée l'est aussi : la fonction $f_n$ est à nouveau décroissante.

Est-ce juste ?
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8191
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans
Contact :

Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Message non lu par guiguiche »

oui. reste les limites.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Yumeno

Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Message non lu par Yumeno »

Cela dépend du signe de $x$ : si $x$ est négatif et la puissance $n$ impaire, le résultat sera négatif... Merci beaucoup pour votre aide, elle m'a permis de bien avancer ! Bonne fin de soirée à vous.
guiguiche
Modérateur général
Modérateur général
Messages : 8191
Inscription : vendredi 06 janvier 2006, 15:32
Statut actuel : Enseignant
Localisation : Le Mans
Contact :

Re: [TS] Nombre de solutions de l'équation x^n = e^x

Message non lu par guiguiche »

Bonne soirée à toi aussi.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
Répondre
  • Sujets similaires
    Réponses
    Vues
    Dernier message