Bonjour.
On sait que
$$\int u^{-1} \partial_{x}h(x-u) du$$
se comporte, grosso modo, comme $\partial_{xx}h$. Je voudrais savoir le pourquoi.
Est-ce que quelqu'un le sait?
A+
Convolution sur 1/x = dérivé
En creusant dans mes souvenirs, il faut travailler en valeur principale, i.e.
$$\mathrm{VP} \int f(x-u)/u\;du = \lim_\epsilon \int_{-\infty}^{-\epsilon}f(x-u)/u\; du+\int^{+\infty}_{+\epsilon}f(x-u)/u\;du$$
pour donner un sens à cette convolution par la fonction $1/x$. Si $f$ le permet je jetterai un coup d'oeil à son développement de Taylor.
$$\mathrm{VP} \int f(x-u)/u\;du = \lim_\epsilon \int_{-\infty}^{-\epsilon}f(x-u)/u\; du+\int^{+\infty}_{+\epsilon}f(x-u)/u\;du$$
pour donner un sens à cette convolution par la fonction $1/x$. Si $f$ le permet je jetterai un coup d'oeil à son développement de Taylor.
Merci.
Au fait, je crois qu'on peut s'en sortir en regardant cela dans le sens des fonctions généralisées:
$\int u^{-1} \partial_{x}h(x-u)du$ = $< \partial_{y}(\ln(y)),\partial_{x}h(x-u) >$ = $< \ln(y),\partial_{xx}h(x-u) >$ = $\partial_{xx} <\ln(y),h(x-u)>$
qui se comporte comme $\partial_{xx}h $ :)
Au fait, je crois qu'on peut s'en sortir en regardant cela dans le sens des fonctions généralisées:
$\int u^{-1} \partial_{x}h(x-u)du$ = $< \partial_{y}(\ln(y)),\partial_{x}h(x-u) >$ = $< \ln(y),\partial_{xx}h(x-u) >$ = $\partial_{xx} <\ln(y),h(x-u)>$
qui se comporte comme $\partial_{xx}h $ :)