[Histoire] L'infini en mathématiques
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 1839
- Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
- Localisation : Un peu plus à l'Ouest
Je n'ai jamais dit que c'était une preuve. Mais amuse-toi à parler de limite en 2nde.
Il me semble que l'argument de mon pote a plus d'impact sur les secondes, parce que la chose difficile, c'est à eux de la trouver, alors que l'étape difficile du premier argument cité, c'est $10\times 0,999\ldts = 9 + 0,999\ldots$, et c'est le prof qui la donne (donc moins convaincant pour les élèves).
D'un autre côté, j'aime bien la première technique, car elle donne une façon systématique de retrouver une écriture fractionnaire à tout développement périodique. Mais ça, ça ne touche que deux élèves par classe de 2nde, et encore, les bonnes années...
Il me semble que l'argument de mon pote a plus d'impact sur les secondes, parce que la chose difficile, c'est à eux de la trouver, alors que l'étape difficile du premier argument cité, c'est $10\times 0,999\ldts = 9 + 0,999\ldots$, et c'est le prof qui la donne (donc moins convaincant pour les élèves).
D'un autre côté, j'aime bien la première technique, car elle donne une façon systématique de retrouver une écriture fractionnaire à tout développement périodique. Mais ça, ça ne touche que deux élèves par classe de 2nde, et encore, les bonnes années...
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Oui je sais que tu avais parlé d'argument et non de preuve; je précisais juste que ce n'en était pas une. Par ailleurs, je ne savais pas que c'était pour les secondes.Tryphon a écrit :Je n'ai jamais dit que c'était une preuve. Mais amuse-toi à parler de limite en 2nde.
Je pense cependant qu'il n'est pas très bon d'utiliser ce type de notations avec des élèves (même si c'est fait depuis le collège avec la division décimale). Ca passe encore pour écrire un résultat (par exemple $1 \div 3 = 0,333\ldots$) mais par contre utiliser ces notations dans des calculs ... moi je n'aime pas du tout ! D'ailleurs dans la première preuve, on s'empresse de masquer la chose en posant $x=0,999\ldots$ et en faisant des calculs avec $x$.
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 1839
- Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
- Localisation : Un peu plus à l'Ouest
Début du HS :
il est très difficile de faire raisonner les élèves avec d'autres types d'écriture que l'écriture décimale (fractionnaire, radicielle). Une fraction n'a quasiment aucune signification pour un élève moyen de 2nde.
C'est une des conséquences de la généralisation des calculatrices dès la 6ème, dont les instructions officielles nous rabattent les oreilles.
J'en ai discuté avec des formateurs IUFM et des IPR, ils minimisent le problème ou semblent ne pas l'avoir anticipé. Je suis parfois assez abasourdi.
Fin du HS.
il est très difficile de faire raisonner les élèves avec d'autres types d'écriture que l'écriture décimale (fractionnaire, radicielle). Une fraction n'a quasiment aucune signification pour un élève moyen de 2nde.
C'est une des conséquences de la généralisation des calculatrices dès la 6ème, dont les instructions officielles nous rabattent les oreilles.
J'en ai discuté avec des formateurs IUFM et des IPR, ils minimisent le problème ou semblent ne pas l'avoir anticipé. Je suis parfois assez abasourdi.
Fin du HS.
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Oui, mais cette écriture n'est pas vraiment une écriture décimale (qui est, pour moi, réservée aux nombres décimaux). Après, je vois très bien ce que tu veux dire et il est bien normal qu'une fraction (et qu'un radical) ne représente pas grand chose. De fait, au collège, j'insiste sur la notion d'arrondi ou d'encadrement mais je refuse l'utilisation des '...' afin d'éviter les déviances dues à cette notation.Tryphon a écrit :il est très difficile de faire raisonner les élèves avec d'autres types d'écriture que l'écriture décimale (fractionnaire, radicielle).
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 1839
- Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
- Localisation : Un peu plus à l'Ouest
Si, c'est une écriture décimale.
Le dévelopement décimal d'un nombre est une notion qui fonctionne pour tout réel.
Ceux-là en particulier (ceux qui finissent pas une infinité de 9) s'appellent des développements décimaux impropres il me semble, et montrent le paradoxe suivant (prisé des examinateurs de concours) que certains réels en l'occurence les décimaux) admettent 2 développements décimaux.
Je n'ai pas de cours sous la main, mais ça doit être fait dans n'importe quel cours de 1ère année.
Le dévelopement décimal d'un nombre est une notion qui fonctionne pour tout réel.
Ceux-là en particulier (ceux qui finissent pas une infinité de 9) s'appellent des développements décimaux impropres il me semble, et montrent le paradoxe suivant (prisé des examinateurs de concours) que certains réels en l'occurence les décimaux) admettent 2 développements décimaux.
Je n'ai pas de cours sous la main, mais ça doit être fait dans n'importe quel cours de 1ère année.
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Bon si tu le dis. C'est vrai que j'étais pas certain.Tryphon a écrit :Si, c'est une écriture décimale.
Oui, je faisais une différence entre écriture décimale et développement décimal ... un peu comme entre polynôme et série entière. Pour moi, le développement décimal était une généralisation de l'écriture décimal pour les nombres non décimaux.Tryphon a écrit :Le dévelopement décimal d'un nombre est une notion qui fonctionne pour tout réel.
Mais du coup, il n'y a vraiment pas de différence entre l'écriture décimal d'un réel et son développement décimal ? (si oui, pourquoi utiliser deux termes différents)
L'écriture décimale d'un nombre (décimal) ne serait donc plus unique ? Quelle serait alors la définition de l'écriture décimale d'un nombre réel ?
Je tente de me répondre à moi même : c'est peut être ce problème d'unicité qui nécessite l'usage de deux termes : l'écriture décimale serait unique mais pas forcément le développement décimal. Si c'est bien cela, je demande la définition exacte de l'écriture décimale d'un réel.
PS : je ne possède pas de document à ce sujet.
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 1839
- Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
- Localisation : Un peu plus à l'Ouest
Pour être honnête, je crois pas avoir jamais vu l'expression "écriture décimal" définie où que ce soit. Je pensais que c'était une dénomination que seuls les profs du secondaire utilisent.
Tout comme l'ensemble D des décimaux, qui n'a aucune justification mathématique (sa justification est historique et pédagogique". D'ailleurs, la notation $\mathbb{D}$ n'est pas du tout standardisée (et quasi-inconnue hors de nos frontières).
Tout comme l'ensemble D des décimaux, qui n'a aucune justification mathématique (sa justification est historique et pédagogique". D'ailleurs, la notation $\mathbb{D}$ n'est pas du tout standardisée (et quasi-inconnue hors de nos frontières).
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Oui, tu sembles donc bien sous-entendre que le terme "écriture décimal" (même si il n'est pas vraiment défini) est associé aux nombres décimaux. Le seul terme mathématique correctement défini serait donc "développement décimal" et le développement décimal d'un réel ne serait pas unique pour les nombres décimaux (et uniquement eux). De fait, il est fort possible que l'on nomme "écriture décimale du nombre décimal" le développement décimal fini. Ca paraît plausible non ?
Désolé de m'incrusté dans votre discussion , mais ayant été en seconde cette année je pense pouvoir vous éclairer un petit peu quant à vos soucis de vocabulaires .
On a appris en effet l'existence d'un ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux . Ces nombres décimaux ont été définis d'une part comme des nombres rationels ayant un développement décimal fini .
Ensuite alors , on nous a dit que tout nombre décimal pouvait s'écrire sous la forme généralisée :
$a\times 10^{-n}$
n étant un entier naturel .
Par la suite alors a été introduit les nombres rationels non décimaux qui eux admettaient un développement décimal non fini tel que $\frac{1}{3}=0,3333...$ (on nous fit remarquer alors la périodicité du développement décimal)
Mais le plus marquant était le fait que l'on nous dise que , malgrés l'égalité entre un nombre rationel non décimal et son écriture pseudo-décimale , ils ne sont pas réellement égaux .
Remarque , c'était assez logique puisque ces nombres étant considérés comme des rationels non décimaux , il était bizarre qu'ils admettent une écriture décimale .
Je vais réfléchir a une suite éventuelle à mon post car là j'ai un peu perdu le fil de ce que vous disiez .
:)
Jord
On a appris en effet l'existence d'un ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux . Ces nombres décimaux ont été définis d'une part comme des nombres rationels ayant un développement décimal fini .
Ensuite alors , on nous a dit que tout nombre décimal pouvait s'écrire sous la forme généralisée :
$a\times 10^{-n}$
n étant un entier naturel .
Par la suite alors a été introduit les nombres rationels non décimaux qui eux admettaient un développement décimal non fini tel que $\frac{1}{3}=0,3333...$ (on nous fit remarquer alors la périodicité du développement décimal)
Mais le plus marquant était le fait que l'on nous dise que , malgrés l'égalité entre un nombre rationel non décimal et son écriture pseudo-décimale , ils ne sont pas réellement égaux .
Remarque , c'était assez logique puisque ces nombres étant considérés comme des rationels non décimaux , il était bizarre qu'ils admettent une écriture décimale .
Je vais réfléchir a une suite éventuelle à mon post car là j'ai un peu perdu le fil de ce que vous disiez .
:)
Jord
-
- Modérateur honoraire
- Messages : 1839
- Inscription : mercredi 01 juin 2005, 18:39
- Localisation : Un peu plus à l'Ouest
Non, je le prends pour synonyme, au secondaire, de "développement décimal".MB a écrit :Oui, tu sembles donc bien sous-entendre que le terme "écriture décimal" (même si il n'est pas vraiment défini) est associé aux nombres décimaux.
Du coup, j'ai une position diamétralement opposé à la tienne (j'autorise 1/3=0,333..., mais pas 1/3=0,333 bien sûr). En fait, l'écriture qu'on m'a enseignée était :
<center>$\frac13=0,\overline{3}\ldots$</center>
avec une barre sur la période). Mais je comprends tout à fait la tienne.
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Dans ce cas, il faudra que j'adapte un peu ma façon de m'exprimer. Je ne dirais plus que $0,5$ est l'écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$ mais que $0,5$ est une écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$, une autre étant $0,4999\ldots$.Tryphon a écrit :Non, je le prends pour synonyme, au secondaire, de "développement décimal".MB a écrit :Oui, tu sembles donc bien sous-entendre que le terme "écriture décimal" (même si il n'est pas vraiment défini) est associé aux nombres décimaux.
Oui, j'autorise également cette notation mais je ne l'encourage pas du tout. J'insiste pour que les élèves laissent les résultats sous forme de fraction (simplifiée) lorsqu'e le résultat d'un calcul n'est pas entier (ou décimal avec peu de chiffres dans la partie décimale). On utilise donc la calculatrice que pour faire des arrondis ou des encadrements (si cela est demandé dans l'énoncé).Tryphon a écrit :Du coup, j'ai une position diamétralement opposé à la tienne (j'autorise 1/3=0,333..., mais pas 1/3=0,333 bien sûr).
Sinon, la seconde notation me dit quelque chose. Je pense que c'est la bonne.
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Oui, pourquoi pas, mais on peut constater que le développemennt décimal d'un nomre décimal n'est pas forcément fini. Il serait donc préférable de dire qu'un nombre est décimal lorsqu'il admet un développement décimal fini. Au collège, je 'défini' les nombres décimaux à partir des fractions décimales.Nightmare a écrit :On a appris en effet l'existence d'un ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux . Ces nombres décimaux ont été définis d'une part comme des nombres rationels ayant un développement décimal fini
Le terme "écriture pseudo-décimale" a été employé par le professeur ?Nightmare a écrit :Mais le plus marquant était le fait que l'on nous dise que , malgrés l'égalité entre un nombre rationel non décimal et son écriture pseudo-décimale , ils ne sont pas réellement égaux
Tu semble donc supposer que le terme "écriture décimale" est réservé aux nombres décimaux ?Nightmare a écrit :Remarque , c'était assez logique puisque ces nombres étant considérés comme des rationels non décimaux , il était bizarre qu'ils admettent une écriture décimale
Voici ce qu'en dit mon dico :
:)
Jord
Voila , j'espere que cela vous aidera .
Développement en base p ($p\in\mathbb{N}-\{0;1\}$) :
Tout nombre entier positif x peut s'écrire de façon unique :
$x=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_{k}p^{k}$ où les $a_{k}$ sont des entiers naturels tels que $0\le a_{k}\le p-1$ .
La suite $(a_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ ainsi obtenue est appelée développement de x en base p que l'on écrit parfois $x=\overline{a_{n}a_{n-1}...a_{0}}^{p}$
De ceci , il en découle que tout entier positif x de l'anneau $\mathbb{Z}\[\frac{1}{p}\]\subset\mathbb{Q}$ peut s'écrire $\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_{k}p^{k}$ avec $a_{k}\in[|0;p-1|]$ et $m\in\mathbb{Z}$ .
Pour tout nombre réel x compris entre 0 et 1 , il existe une unique suite $(a_{n})_{n\ge 1}$ de $[|0,p-1|]$ telle que la série $\displaystyle\sum_{n\ge 1} \frac{a_{n}}{p^{n}}$ converge vers x ; cette série est le développement de x en base p . Les sommes partielles de cette série sont des éléments de $\mathbb{Z}\[\frac{1}{p}\]\subset\mathbb{Q}$ qui fournissent des approximations rationnelles de x.
Développement décimal d'un nombre réel :
Dévellopement décimal en base 10 .
Par exemple , le développement décimal de $\frac{2}{3}$ est $0,666...=\displaystyle\sum_{k\ge 1} \frac{6}{10^{k}}$.
Un nombre réel est décimal si et seulement si son développement décimal n'est constitué que de zéros à partir d'un certain rang .
Un nombre réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique .
Nombre décimal:
Nombre rationnel pouvant s'écrire sous la forme $\frac{n}{10^{m}}$ avec $(n,m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$
:)
Jord
Non non il vient de moi , cette partie du programme ayant été traitée en début d'année , il aurait fallut que j'ai une mémoire digne de ce nom pour m'en rappeller ;)MB a écrit :Le terme "écriture pseudo-décimale" a été employé par le professeur ?
Selon mon dictionnaire non , selon mon prof oui . Maintenant vous savez les dictionnaires ...MB a écrit :Tu semble donc supposer que le terme "écriture décimale" est réservé aux nombres décimaux ?
:)
Jord
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
C'est, en gros, la définition que je donne au collège.Nombre décimal: Nombre rationnel pouvant s'écrire sous la forme $\frac{n}{10^{m}}$ avec $(n,m)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$
Sinon, je ne suis pas d'accord avec la définition du développement donnée par ton dictionnaire; pour moi, il n'y a pas unicité.
Moi je suis daccord sur l'unicité .
Tu dis :
(tu as acquiescé toi même à cette définition :
Or , tu dis qu'une autre écriture décimale de $\frac{1}{2}$ serait $0,4999...$ .
Ce développement n'est pas un développement fini , donc si jamais $\frac{1}{2}$ s'écrivait sous cette forme , alors il ne serait pas décimal ce qui est un peu absurde .
Donc je ne pense pas qu'on puisse l'écrire tel que tu l'as fait .
:)
Jord
Tu dis :
Selon la définition d'un rationnel décimal , celui-ci aurait un développement décimal finiMB a écrit : Dans ce cas, il faudra que j'adapte un peu ma façon de m'exprimer. Je ne dirais plus que 0,5 est l'écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$ mais que 0,5 est une écriture décimale de $\dfrac{1}{2}$, un autre étant $0,4999\ldots.$
(tu as acquiescé toi même à cette définition :
)MB a écrit :Il serait donc préférable de dire qu'un nombre est décimal lorsqu'il admet un développement décimal fini.
Or , tu dis qu'une autre écriture décimale de $\frac{1}{2}$ serait $0,4999...$ .
Ce développement n'est pas un développement fini , donc si jamais $\frac{1}{2}$ s'écrivait sous cette forme , alors il ne serait pas décimal ce qui est un peu absurde .
Donc je ne pense pas qu'on puisse l'écrire tel que tu l'as fait .
:)
Jord
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Dans la définition du développement décimal donnée par ton dictionnaire, $0,4999\ldots$ et $0,5$ sont deux développements décimaux de $\dfrac{1}{2}$ (les deux suites vérifient les propriétés d'un développement décimal). Un étant fini et l'autre non. Cela, pose en effet problème dans la définition des nombres décimaux du dictionnaire. Il parle de son développement décimal qui doit être fini (suppose donc l'unicité), alors que moi j'ai changé en un développement décimal, ce qui change tout et qui ne contredit pas le fait que $\dfrac{1}{2}$ soit décimal.Nightmare a écrit :Or , tu dis qu'une autre écriture décimale de $\frac{1}{2}$ serait $0,4999...$ .
Ce développement n'est pas un développement fini , donc si jamais $\frac{1}{2}$ s'écrivait sous cette forme , alors il ne serait pas décimal ce qui est un peu absurde
Mais quel carnage !!!
Je ne crois pas mes yeux, si mon prof de math voit ça elle aura une crise cardiaque.
Dites moi si
1>0.99999…
ou
1=0.9999…
ou
0.9999…-->1.
Mais où sont les notions d'algébre et d'analyse du lycée ?
Dites moi si
1>0.99999…
ou
1=0.9999…
ou
0.9999…-->1.
Mais où sont les notions d'algébre et d'analyse du lycée ?
-
- Administrateur
- Messages : 8058
- Inscription : samedi 28 mai 2005, 14:23
- Statut actuel : Enseignant
- Contact :
Re: Mais quel carnage !!!
Quel est le problème ?Zaim KHELIFI a écrit :Je ne crois pas mes yeux, si mon prof de math voit ça elle aura une crise cardiaque.
Les deux dernières propositions.Zaim KHELIFI a écrit : Dites moi si
1>0.99999…
ou
1=0.9999…
ou
0.9999…-->1.
-
- Sujets similaires
- Réponses
- Vues
- Dernier message
-
- 30 Réponses
- 7733 Vues
-
Dernier message par Sofoton0 mahulé1
-
- 2 Réponses
- 1218 Vues
-
Dernier message par kriztho
-
- 0 Réponses
- 3865 Vues
-
Dernier message par MB
-
- 0 Réponses
- 2562 Vues
-
Dernier message par MB
-
- 4 Réponses
- 915 Vues
-
Dernier message par MB