Bonsoir,
quelqu'un pour démontrer (géométriquement si possible) que $\overrightarrow{rN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OM} ?$
$ABC$ est un triangle quelconque, $O$ son centre de gravité,
$p$, $q$, $r$ les milieux respectifs de $[A,B]$, $[B,C]$ et $[C,A]$.
$M$ un point quelconque,
$a$ : projection de $M$ parallèlement à $(Oq)$ sur $(BC)$,
$b$ : projection de $M$ parallèlement à $(Or)$ sur $(AC)$,
$c$ : projection de $M$ parallèlement à $(Op)$ sur $(AB)$,
$\overrightarrow{rN}=\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}+\overrightarrow{rb}$.
Merci d'avance
Triangle
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Bonjour,
Quel niveau??
On écrit $\vec{OM}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$, on projette sur les trois cotés du triangle parallèlement à ce qu'il faut...
Ce qui vous donnera les trois vecteurs $\vec{qa}$, $\vec{pc}$, et $\vec{rb}$, reste à les ajouter...
Je n'ai pas cherché à savoir s'il y avait plus simple.
Quel niveau??
On écrit $\vec{OM}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$, on projette sur les trois cotés du triangle parallèlement à ce qu'il faut...
Ce qui vous donnera les trois vecteurs $\vec{qa}$, $\vec{pc}$, et $\vec{rb}$, reste à les ajouter...
Je n'ai pas cherché à savoir s'il y avait plus simple.
C'est un problème pratique sur lequel je suis tombé en évaluant une méthode d'éléments finis alors je ne connais pas le niveau qui permet de le démontrer simplement.Quel niveau??
Analytiquement, $x=y=z=\frac{1}{3}$ et la projection d'un point $(u,v)$ sur une droite $au+bv+c=0$ parallèlement à un vecteur $(s,t)$ est le point $((b(tu-sv)-sc)/d,(a(sv-tu)-tc)/d)$ où $d=as+bt$ mais la fin du calcul est pénible.$\vec{OM}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$
Surtout pas d'analytique!
x, y, z=1-x-y sont les coordonnées barycentriques de M dans (A,B,C), et peu importe leur valeur. On a $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$, soit $f$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(Or)$, $f$ étant une application affine on a:
$$\overrightarrow{f(O)f(M)})=x\overrightarrow{f(O)f(A)}+y\overrightarrow{f(O)f(B)}+z\overrightarrow{f(O)f(C)}$$
c'est à dire:
$$\overrightarrow{rb}=x\overrightarrow{rA}+z\overrightarrow{rC}$$
de même, avec $g$ la projection affine sur $(BC)$ parallèlement à $(Oq)$ on obtient:
$$\overrightarrow{qa}=y\overrightarrow{qB}+z\overrightarrow{qC}$$
et avec $h$ la projection affine sur $(AB)$ parallèlement à $(Op)$ on obtient:
$$\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{pA}+y\overrightarrow{pB}$$
On ajoute les trois relations:
$$
\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x[\frac12 \overrightarrow{CA}+\frac12 \overrightarrow{BA}]+y[\frac12 \overrightarrow{CB}+\frac 12\overrightarrow{AB}]+z[\frac12 \overrightarrow{AC}+\frac12 \overrightarrow{BC}]$$
$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{qA}+y\overrightarrow{rB}+z\overrightarrow{pC}$$
$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=
\frac32(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC})$$
$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=\frac32\overrightarrow{OM}$$
x, y, z=1-x-y sont les coordonnées barycentriques de M dans (A,B,C), et peu importe leur valeur. On a $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$, soit $f$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(Or)$, $f$ étant une application affine on a:
$$\overrightarrow{f(O)f(M)})=x\overrightarrow{f(O)f(A)}+y\overrightarrow{f(O)f(B)}+z\overrightarrow{f(O)f(C)}$$
c'est à dire:
$$\overrightarrow{rb}=x\overrightarrow{rA}+z\overrightarrow{rC}$$
de même, avec $g$ la projection affine sur $(BC)$ parallèlement à $(Oq)$ on obtient:
$$\overrightarrow{qa}=y\overrightarrow{qB}+z\overrightarrow{qC}$$
et avec $h$ la projection affine sur $(AB)$ parallèlement à $(Op)$ on obtient:
$$\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{pA}+y\overrightarrow{pB}$$
On ajoute les trois relations:
$$
\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x[\frac12 \overrightarrow{CA}+\frac12 \overrightarrow{BA}]+y[\frac12 \overrightarrow{CB}+\frac 12\overrightarrow{AB}]+z[\frac12 \overrightarrow{AC}+\frac12 \overrightarrow{BC}]$$
$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=x\overrightarrow{qA}+y\overrightarrow{rB}+z\overrightarrow{pC}$$
$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=
\frac32(x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC})$$
$$\overrightarrow{rb}+\overrightarrow{qa}+\overrightarrow{pc}=\frac32\overrightarrow{OM}$$
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