[TS Spé] Divisibilité

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stephanie
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[TS Spé] Divisibilité

Message non lu par stephanie »

Bonsoir,

Première heure de cours et déjà bloquée :mrgreen: ! C'est pourquoi je viens chercher votre aide :D Merci d'avance...
Voila les 2 exos en questions :

Exo 1 :
$k$ est un entier naturel, $a = 9 k + 2$ et $b = 12 k + 1$. Prouver que les seuls diviseurs positifs communs de $a$ et $b$ sont $1$ et $5$.
Et bien pour l'instant, j'ai pas vraiment d'idée pour commencer...

Exo 2 :
Trouver tous les couples d'entiers naturels $(a;b)$ tels que $a^2 - b^2 = 21$.
on peut écrire $(a-b) (a+b) = 21$ c'est un produit d'entier donc a divise 21, les diviseurs de $21$ sont : $1, 3, 7, 21$
Il faut donc essayer pour tous les cas $a=1, a=3, a=7$... le problème c'est que je trouve aucun b entier naturel c'est normal ?

Merci
MB
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par MB »

stephanie a écrit :Exo 1 :
$k$ est un entier naturel, $a = 9 k + 2$ et $b = 12 k + 1$. Prouver que les seuls diviseurs positifs communs de $a$ et $b$ sont $1$ et $5$.
Et bien pour l'instant, j'ai pas vraiment d'idée pour commencer...
Une piste (peut être qu'il y a mieux) :

Tu sais que si un nombre $n$ divise $a$ et $b$, alors ce nombre $n$ divise $\alpha a + \beta b$ ($\alpha$ et $\beta$ dans $\Z$).
Par exemple, $n$ divise $4a-3b$. Tu peux calculer ce nombre ?
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rebouxo
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par rebouxo »

J'ai des doutes. En regardant pour les premières valeurs de $k$, cela ne fonctionne pas.
L'énoncé est-il juste ?

Olivier
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par stephanie »

Rebouxo : j'ai vérifié l'énoncé est recopié sans erreur :D
sinon je me penche sur votre "piste" mais j'avoue que je patoge pas mal :roll:
Valvino
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par Valvino »

Exercice 1

Si $k=1$, alors $a=11$ et $b=13$, et ni 1 ni 5 ne sont des diviseurs positifs communs de $a$ et $b$. Donc l'énoncé est faux.

Exercice 2

Quels sont les diviseurs positifs de 21? En remarquant que $a-b$ et $a+b$ sont de même parité et divisent tous les deux 21, tu devrais obtenir un système d'équations à résoudre.
MB
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par MB »

Valvino a écrit :Si $k=1$, alors $a=11$ et $b=13$, et ni 1 ni 5 ne sont des diviseurs positifs communs de $a$ et $b$. Donc l'énoncé est faux.
Bah 1 quand même ça divise un peu tout et n'importe quoi. :D
En tout cas, il est certain que pour $k=1$ le nombre 5 n'est pas un diviseur commun. Pour les autres valeurs faut voir.
Par contre, je pense qu'on peut montrer que 1 et 5 sont les seuls diviseurs communs possibles.
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par stephanie »

Oula la la quelle galère :cry: ...
Pour les diviseurs positifs de 21 : 1, 3,7, 21 mais après vous me parlez de parité de $a+b$ et de $a-b$ mais que signifie ce terme ? Je suis coincée :? Merci pour votre aide
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par rebouxo »

stephanie a écrit :Oula la la quelle galère :cry: ...
Pour les diviseurs positifs de 21 : 1, 3,7, 21 mais après vous me parlez de parité de $a+b$ et de $a-b$ mais que signifie ce terme ? Je suis coincée :? Merci pour votre aide
La parité des nombres c'est si ils sont pairs ou impairs. :D Or, tous tes diviseurs de $21$ sont impairs, qu'est-ce que cela veut dire sur $a$ et $b$.

Cela dit, il n'y a pas beaucoup de cas : $a-b =1$ alors $a+b=21$ et donc $2a = \ldots$ et donc $b = \ldots$. Et pareil pour l'autre.

Olivier
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par Valvino »

MB a écrit :Bah 1 quand même ça divise un peu tout et n'importe quoi. :D
:oops: Désolé lol

Sinon pour le deuxième exercice on peut aussi tester à la bourrin toutes les valeurs possibles. :)
MB
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par MB »

stephanie a écrit :sinon je me penche sur votre "piste" mais j'avoue que je patoge pas mal :roll:
Bah ça vaut combien $4a-3b$ ?
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par stephanie »

Voila du nouveau, après quelques explications, mon problème à un peu avancé, surtout pour l'exo 2, je vous mets ce que j'ai fait afin que vous puissiez me dire si c'est correct :

Exo 2 :
Les diviseurs de 21 sont : 1, 3, 7, 21
Quatre solutions :
Soit $a+b=1$ donc $a-b=21$ je trouve $a=11$ et $b=-10$ ca ne marche pas car $b \notin \N$
Soit $a+b=3$ donc $a-b=7$ je trouve $a=5$ et $b=-2$ pareil ca ne marche pas car $b \notin \N$
Soit $a+b=7$ donc $a-b=3$ je trouve $a=5$ et $b=2$ OK
Soit $a+b=21$ donc $a-b=1$ je trouve $a=11$ et $b=10$ OK
Il y aurait donc 2 couples solutions ? : $(5;2)$ et $(11;10)$

Pour l'exo 1 :

$4a-3b = 4(9k+2)-3(12k+1)=5$ On retrouve le 5 ? mais le 1 ? mais d'ailleurs d'où sortent 3 et 4 ?
Je m'embrouille :shock: Pourriez vous m'expliquer svp quand vous êtes face à ce genre d'énoncer comment vous faite pour démeler la situation et vous en sortir ? Quelle est la logique à appliquer ? Que faire pour commencer ?
Merci
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par rebouxo »

Non, $a$ et $b$ sont positifs. Donc $a+b > a-b$. Cela devrait marcher mieux.

Olivier
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Re: [TS Spé] Divisibilité

Message non lu par MB »

stephanie a écrit :$4a-3b = 4(9k+2)-3(12k+1)=5$ On retrouve le 5 ? mais le 1 ? mais d'ailleurs d'où sortent 3 et 4 ?
On sait que si un nombre divise à la fois $a$ et $b$, alors il divise $4a-3b$ et donc il divise 5. Or, les seuls nombres qui divisent 5 sont 1 et 5 justement. Ce sont donc les deux seules valeurs possibles pour ce diviseur commun. Et pourquoi le 3 et le 4 : pour éliminer le $k$.
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