Série
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Bonjour,
lorsque l'on veut étudier la convergence d'une série, il y a t-il des astuces pour savoir quels techniques utiliser (critère de Cauchy, d'Alembert, Bertrand, Riemann, équivalence ...).
Par exemple pour :
$ \sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} $
$ \sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}$
et encore
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha}$ avec $\alpha > 2$
Qu'est-ce qui vous indique qu'elles méthode serait susceptible de fonctionner ?
Merci
lorsque l'on veut étudier la convergence d'une série, il y a t-il des astuces pour savoir quels techniques utiliser (critère de Cauchy, d'Alembert, Bertrand, Riemann, équivalence ...).
Par exemple pour :
$ \sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} $
$ \sum \dfrac{1}{n.sin^2(n)}$
et encore
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha}$ avec $\alpha > 2$
Qu'est-ce qui vous indique qu'elles méthode serait susceptible de fonctionner ?
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Re: Serie
1 et 3 : équivalent
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: Serie
$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge
$\sqrt{n^2+n+1}-1 \sim \sqrt{n^2}=n$
donc
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha} \sim \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{1}{n^\alpha^-^1} \sim \dfrac{1}{n^\alpha^-^1}$ donc ça converge d'après le critère de Bertrand
Faut-il justifier chaque équivalence ?
$\sqrt{n^2+n+1}-1 \sim \sqrt{n^2}=n$
donc
$ \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}-1}{n^\alpha} \sim \sum sin^2(\dfrac{1}{n}) \dfrac{1}{n^\alpha^-^1} \sim \dfrac{1}{n^\alpha^-^1}$ donc ça converge d'après le critère de Bertrand
Faut-il justifier chaque équivalence ?
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Re: Serie
Les termes généraux sont équivalents.Tolbo a écrit :$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ donc ça diverge
Pour l'autre, un équivalent du terme général est $\dfrac{1}{n^{\alpha+1}}$.
On conclut avec Riemann.
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Un peu d'autopromotion.
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Re: Serie
Ce genre de chose se voit à l'oeil nu ?Tolbo a écrit :$\sum \dfrac{1}{n^{1+\frac{2}{n}}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$
Moi, j'aurais branché le microscope...
Amicalement,
Vincent.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
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Re: Série
Ah oui, tu as raison mais j'avoue que, pour moi, cela n'avait rien d'évident.
Tout comme $\dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \dfrac{1}{n} \Rightarrow \sum \dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ n'avait rien d'évident pour moi en première lecture.
Mais j'ai compris maintenant (enfin j'espère ;)) : tu parles de l'équivalence des sommes partielles sont équivalentes, car divergentes et de termes généraux équivalents.
Amicalement,
Vincent.
Tout comme $\dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \dfrac{1}{n} \Rightarrow \sum \dfrac{1}{n^{1+2/n}} \sim \sum \dfrac{1}{n}$ n'avait rien d'évident pour moi en première lecture.
Mais j'ai compris maintenant (enfin j'espère ;)) : tu parles de l'équivalence des sommes partielles sont équivalentes, car divergentes et de termes généraux équivalents.
Amicalement,
Vincent.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
Re: Série
bonjour,
Ecrire ce genre de chose est pour moi une grosse énormité :D A partir du moment où tu écris $\sum$ ça signifie pour moi que ça converge.... donc ça ne va pas du point de vue de la rédaction
Il faut seulement regarder le terme général c'est à dire $\dfrac{1}{n\sin^2 n}$.
De plus es tu sûr de $\sin^2 n=n^2+o(n)$ : tu as trouvé ça où
Ecrire ce genre de chose est pour moi une grosse énormité :D A partir du moment où tu écris $\sum$ ça signifie pour moi que ça converge.... donc ça ne va pas du point de vue de la rédaction
Il faut seulement regarder le terme général c'est à dire $\dfrac{1}{n\sin^2 n}$.
De plus es tu sûr de $\sin^2 n=n^2+o(n)$ : tu as trouvé ça où
Pas d'aide par MP.
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